“四維”反思 提升高考復習實效*
——講評一道試題有感

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(廈門大學附屬實驗中學,福建 漳州 363123)

“四維”反思提升高考復習實效*
——講評一道試題有感

●邱云

(廈門大學附屬實驗中學,福建 漳州 363123)

在高考復習中，試題講評要注重從學生、教師、命題、改題這4 個維度進行深層反思，引導學生看清問題本質，從而提高解題能力與自信，讓復習更具實效．

高考復習; 試題講評; 四維反思

在高考總復習階段，做題、講題是學與教的常態，試題講評活動也就成為學生完善知識、增長能力、積累經驗、提升素養的關鍵．隨著高考日益逼近，題海無涯，解法不定，學生的學習壓力越來越大，這對解題教學的效率提出了更高的要求．講評試題是停留在就題論題、糾正答案，還是舉一反三、講練結合；是越俎代庖、貪量求全，教師一講到底，學生被動接受，還是收放有度、深思求質，師生教學相長，學生積極參與……怎樣的試題講評課更吸睛、更高效、更具針對性、更富思考性？筆者認為：在時間緊、任務重的總復習階段，試題講評要注重從學生、教師、命題、改題這4個維度進行反思，幫助學生走出迷霧，讓其能撥云見日看清問題的本質，領悟求解思路的生成，從而提高解題能力與自信，讓復習課更具實效．

題目已知f(x)=x3-3x+2+m(其中m>0)，在區間[0，2]上存在3個不同的實數a,b,c，使得以f(a),f(b),f(c)為邊長的三角形是直角三角形，則m的取值范圍是

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這是高三復習檢測中的一道選擇壓軸題，綜合性強，難度大，考試現場真正因理解而答對的學生幾乎沒有．考后與備課組教師交流，大家也覺得此題不好下手：一是不易找出函數值與直角三角形的關系；二是備選項的數字也很怪，難以猜想．這樣一道讓人感到棘手的難題，難在何處？又該如何講評？以下是筆者的講題過程及講評前后的思考與感想．

1 反思學生受阻思路，明晰困惑所在

學生是課堂的主人，高三復習課亦如此．“只有知曉病情，才能對癥下藥”．經過前期學習、復習，學生的知識網絡已基本建構，基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗已有一定水平，對問題的解決較復習前有更多的主見、想法和創意．這時認真傾聽學生的解題思路，明晰其求解困惑：1)便于察覺學生的認知障礙與思維斷點，有利于提高講題的針對性；2)有助于發現學生的思維亮點，有利于教師伺機捕捉生成資源、點撥引導，實現教學相長，讓課堂更靈動；3)了解學生在考場經歷的解題挫折與感受，講題也會更貼心．

講評前，讓學生說出在考場解答此題時的真實想法．

生1：讀完題目無從下手，尤其是看到“以f(a),f(b),f(c)為邊長的三角形是直角三角形”，字母又多，完全不知如何入手，只好瞎蒙.

這類學生占多數．可見，多個未知參數干擾與“直角三角形”的介入，使原本熟悉的三次函數變得異常陌生．找出“f(a),f(b),f(c)與m的關系”是解決問題的第一步．

生2：先試著分析函數f(x)的單調性，再求出函數的極值及在區間[0，2]上的最值，然后不知與直角三角形有何關系，只好作罷．

這類學生如果能突破f(a),f(b),f(c)與函數最值間的關系問題，那么離目標就近了．

該學生能用極限思想排除選項A,出乎筆者的預料．

生3原認為情急之下不得以而為之的小伎倆，卻被教師夸獎為解題良方，心里美滋滋的．學生們投去贊賞目光的同時，也若有所悟——難題也并非“難于上青天”．生3的創想讓沉寂的課堂活躍起來，激發了大家的聽講欲望，于是筆者順勢簡單介紹了羅增儒教授在《數學解題學引論》中提及的選擇題的求解策略：肯定一支、否定三支、邏輯分析、合情推理、結論也是已知信息．

2 反思教師思維過程，啟發解法形成

有學者提出，解題思維過程要經歷“定向—逼近—成型—引申”這4個階段．波利亞的解題理論告訴我們，解題無外乎是“架起由已知通向未知的橋梁，橋梁承載著數學知識、思想、方法、能力、技巧”[1]．本題的橋梁就是“f(a),f(b),f(c)與直角三角形的關系”，那么教師又會如何“定向、逼近”架構橋梁、形成解法呢？教師的思維過程對解題教學又有何啟發呢？

圖1

師1：展開動態想象．先求出f(x)min=m，f(x)max=m+4，然后畫出如圖1所示的三角形，試圖從鈍角三角形到直角三角形的變化中尋找到f(a),f(b),f(c)能構成直角三角形的條件．難以自圓其說，不嚴謹．

(a2+b2-c2)min<0,

于是當a=b=m時，有cosA<0，即

m2+m2-(m+4)2<0，

解得

師3：從形的角度考慮．聯系勾股逆定理，將問題轉化為在閉區間[m,m+4]上存在構成直角三角形邊長的3個實數問題，于是m滿足條件(m+4)2-m2>m2即可．

教師的思維過程也不是一帆風順！“他山之石可以攻玉”，教師的探求過程與數學直覺對引導學生架起“溝通已知與未知間的橋梁”有借鑒作用．講評時筆者設計了如下問題串：

1)求出f(x)在[0,2]上的最值．

(求得f(a),f(b),f(c)∈[m,m+4]是“定向”.)

2)如何判斷3個數能否構成直角三角形的3條邊？

(學生馬上想到勾股逆定理．)

3)在區間[3,5],[3,7],[3,4]上可以找到構成直角三角形3條邊的不同實數嗎？若區間[3,m]上存在構成直角三角形3條邊長的實數，則m的取值范圍是多少？

(解答問題3)后，很多學生悟到了原題中m應滿足的條件“(m+4)2-m2>m2”．問題2)和問題3)是引導學生“逼近—成型”正確解法的過程．)

4)已知3條邊，判斷一個三角形是鈍角、直角還是銳角三角形的常用方法是什么？

(學生很快說出“余弦定理”．問題4)遷移到原問題，把f(a),f(b),f(c)看成三角形的3條邊長，原問題也就迎刃而解．)

3 反思試題命制意圖，提升思維高度

高考難題既注重能力立意，又立足通性通法，知識組成上具有綜合性、交匯性的特點．引導學生從命題意圖的高度思考問題，是更高層次的解題．如果說從一題多解到多題一解的領悟，是既見樹木又見森林，那么站在命題意圖的高度解題，就是俯看森林還知樹木．反思試題的命制意圖與構成，揭開難題神秘面紗，一方面讓學生對知識網絡俯視更清晰、理解更深刻，讓解題視野更高遠、更開闊；另一方面對訓練快速提取有效信息解決綜合試題的能力有潛移默化之效；同時也讓不同層次的學生在難題講評中都有所獲．

講評難題時，可將試題信息進行化整為零，分析其中考查了哪些知識、哪些方法，它們是怎樣組合在一起的，讓學生從心理上認同“難題源于易”[2]．例如，揣摩本題命制過程：以大家熟悉的三次函數為載體，考查與極值、最值相關的參數取值范圍問題．為體現壓軸選擇題的綜合性、靈活性和選拔性，加入了“直角三角形”這一幾何元素，再以“存在性問題”的開放式設問，使原本常規的問題變得更抽象和復雜，有效考查了學生綜合分析問題、解決問題的能力及思維的正遷移能力．這一自覺“揣摩”的過程需要教師先在課前完成．

得出解答后，教師提問：本題主要考查了什么知識？用到哪些數學思想方法？

1)求三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d在閉區間上的極值、最值．

2)解一元二次不等式ax2+bx+c<0．

3)余弦定理、勾股定理．

4)構成直角三角形的條件：若區間[p,q]上存在3個不同的正實數x,y,z，以x,y,z為邊長的三角形是直角三角形，則p,q應滿足什么條件？當q2>2p2時，必存在符合題意的x,y,z．

問題解決中蘊含了函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、極限思想．師生共同反思試題的命制過程與意圖，是追求解題中“不畏浮云遮望眼，只因身在最高層”的境界．

4 反思試題的優化與變式，從解題到賞題

就題論題糾正答案，如入寶山而空返．難題解完不能見好就收，而應乘勝追擊，擴大解題成果．要嘗試從科學性角度優化試題；抓住問題本質屬性變換已知、結論改編試題，使得學生對問題的認識更加全面而深邃，從而滋養思維品質，提升解決問題的元認知水平，豐富數學素養．

4.1 優化選項，讓試題更科學

對于設計不完備，易被學生投機取巧，或偏離考查意圖的試題，講評時要鼓勵學生在解題的基礎上優化試題，使試題更科學、更具選拔功能，也使自己的思維更縝密、更有辨別力．當然這也值得命題者借鑒與反思．

( )

(2016年福建省福州市普通高中畢業班數學質量檢測理科試題第4題)

這是一道嚴重偏離考查意圖的選擇題．學生的解答：由已知得cos 2α>0，排除選項A，B，又cos 2α≠1，故選D．原考查意圖“余弦的二倍角公式、正弦的和差角公式、同角正余弦值的平方關系sin2x+cos2x=1的應用”都沒實現．講評時，可引導學生改變α的范圍或備選項的取值，使試題臻于完美．

4.2 改編試題，讓解題更深入

講評試題謹防淺嘗輒止，應在學生思維的最近發展區縱橫捭闔，改編試題．“趁熱打鐵”，讓學生在理解性學習的基礎上拓展思維，將解題的感受、感悟深入地融入到原有認知結構中，進而提升解題層次，引發更深思考．變式方式常有：變已知、變結論、從特殊到一般縱向推廣、橫向類比等．

變式1改變已知，讓理解更到位.

若將區間[0，2]改為[0，3]，其余條件不變，則m的取值范圍是______．

分析這時f(x)max=f(3)=m+20，故

(m+20)2>2m2，

得

變式2執果索因，讓思維更深刻.

若選A，試題條件應做何變化？

分析把條件變為：對區間[0，2]上任意3個不同的實數a,b,c，使得以f(a),f(b),f(c)為邊長的三角形都是銳角三角形．依題意，

2m2-(m+4)2>0，

得

即時的“變式”，使原本難以逾越的鴻溝“f(a),f(b),f(c)與直角三角形的關系”變得暢通無阻，讓學生感嘆當初“云深不知處，只緣身在此山中”．

5 結束語

高考總復習不應是知識的簡單重復，而應是知識理解的升華、知識架構的豐滿；是解題能力的提升、求解策略的培養[3]；是解題信心的樹立、學科素養的練就．試題講評，教師要以教會學生思考，培養其獨立探索、解決問題的能力為目標．教育家弗賴登塔爾說：“反思是數學思維活動的核心和動力，沒有反思，學生的理解就不可能從原有水平升華到更高水平．”復習教學中，試題講評要著眼從學生、教師、命題、改題這4個維度進行深層反思，從本質上提升講題實效；通過對疑難問題的講評分析，讓學生張開思維的翅膀，穿越知識交匯的藩籬，在問題解決的廣闊天空中盡情翱翔，也讓試題講評課閃耀智慧的光芒．

[1] 羅增儒．數學解題學引論[M]．西安：陜西師范大學出版社，2001．

[2] 王修湯．講評高考題：講什么，評什么[J]．中學數學教學參考：上旬，2016(12):47-49.

[3] 易文輝．2016年全國數學高考Ⅰ卷試題特點及教學建議[J]．中學教研(數學)，2016(11)：25-29.

2017-07-30基金項目：2016年福建省基礎教育課程教學研究課題(MJYKT2016-194)

邱 云(1975-)，男，福建寧化人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

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1003 - 6407(2017)11-06-04