模式穩定層次高 外表樸實內涵深*
——2017年江蘇省數學高考試題評析與教學啟示

●

(大廠高級中學,江蘇 南京 210044)

模式穩定層次高外表樸實內涵深*
——2017年江蘇省數學高考試題評析與教學啟示

●余建國

(大廠高級中學,江蘇 南京 210044)

2017 年江蘇省數學高考試題延續往年的“江蘇模式”，穩中有變，整卷難度均衡，考查全面，設計新穎． 試題很好地體現了數學計算、抽象概括、直觀想象、推理論證、數學建模、數據分析等核心素養，較好地實現了區分功能，對高中數學教學具有良好的導向作用．

數學高考; 江蘇卷; 試題評析; 教學啟示

2017年的江蘇卷在《普通高中數學課程標準(實驗)》的框架內，從考試內容、形式和文理區分等方面，堅持特色鮮明的“江蘇模式”，很好地貫徹了《考試說明(江蘇卷)》的“保持相對穩定，命題穩中有新；堅持以人為本，確保社會穩定”和“科學性、規范性、公平性、穩定性、選拔性、導向性”的命題要求，延續了數學高考江蘇卷的一貫風格．筆者結合自己的高三教學實踐，對此談一些粗淺的認識，請批評指正．

1 特點分析

1．1 延續模式，穩中有變

文獻[1]介紹了“江蘇模式”，2017年試題延續了江蘇卷自主命題的一貫風格，即卷Ⅰ共6個解答題：第15，16題是三角函數與向量、立體幾何平行和垂直證明；第17，18題是應用題、圓錐曲線；第19，20題分別是函數與導數、數列綜合．稍微變化的是：1)立體幾何證明題10年來第一次與三角和向量解答題交換順序，變為第一道解答題，事實上這兩道題都比較簡單，是否需要交換順序無關緊要；2)應用題以立體幾何為背景考查求大小，而不是最常見、考生最習慣的求最值類問題(下文詳述)，避免了基本不等式或導數的反復考查；3)在卷Ⅱ第22，23題(這兩道題理科考生必做)中，一改空間向量與概率分布“輪流坐莊”的模式，第22題考查空間向量、異面直線所成角和二面角等基礎知識，考查運用空間向量解決問題的能力，第23題將計數原理、排列組合與二項式定理、離散型變量的概率分布結合起來考查，這樣理科的兩個重點內容首次在同一張試卷中都考到，對教學起到了良好的導向作用．

1.2 回歸教材，不偏不怪

2017年的江蘇卷總體難度穩定．卷Ⅰ滿分160，其中填空題平均分為51.88，解答題平均分為44.84，省平均分為96.72，難度系數0.605；卷Ⅱ滿分40，省平均分為23.67,與前幾年基本相當．

基本題均改編或來源于教材，能迅速消除考生的緊張情緒，有利于考生較快拿到基本分，為其較好地進入答題狀態作好鋪墊．例如，填空題前10題，考查最基本的概念，運算簡單，有的心算便可完成；解答題前兩道題涉及的是一些常用方法，與教材上相關章節的練習題型類似、難度相當．

例1某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總儲存費用為4x萬元．要使一年的總運費與總儲存費用之和最小，則x的值是______．

(2017年江蘇省數學高考試題第10題)

分析本題直接來源于課本，也是學生耳熟能詳的題目，經過適當改編，主要考查學生應用基本不等式求最值和數學建模能力(此為C級考點)．筆者認為，應用基本不等式求最值雖說是“必考點”，但對繁、難的配湊技巧要有度的把握．有的模擬試卷過分強調配湊技巧，是片面理解教學要求．

中等題主要考查考生對數學概念和性質的了解情況以及基本運算能力，如填空題的倒數第3題和第4題以及解答題的中間兩道題，雖有一定的運算量，但所用的方法都是課本上最常見的，中等及以上程度的考生應能順利作答．

圖1

( 2017年江蘇省數學高考試題第12 題)

分析如圖1，以OC為對角線，構造以OA1，OB1為鄰邊的OA1CB1．在△OA1C中，∠OCA1=∠COB1=,由tanα=7，得

由正弦定理，得

所以

m+n=3.

1.3 應用變臉，核心算理

數學模型是數學與現實世界、其他學科聯系的橋梁．數學建模的教學有利于學生感悟數學與現實世界的聯系，養成從整體的角度看待和思考的習慣，積累運用數學語言表達現實問題、運用數學知識解決實際問題的經驗，從而提升數學應用意識和創新能力．數學建模是數學核心素養之一，江蘇卷基本都在第17，18題的位置安排應用題．與以往都是“建立目標函數求最值”型不同的是，2017年應用題以立體幾何為背景“求長度”．

圖2 圖3

1)將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點A處，另一端置于側棱CC1上，求l沒入水中的長度；

2) 將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點E處，另一端置于側棱GG1上，求l沒入水中的長度．

( 2017年江蘇省數學高考試題第18 題)

分析對于第2)小題，大部分學生想到解三角形(詳見參考答案)，或建立坐標系．筆者用解析法試做后發現：求點N(玻璃棒l與棱GG1的交點)的坐標(x，y)時，要解方程

25x2-16×28x+16×142-1 600×9=0，

即便算出Δ=1 327 104，開方也是個難題．如何改進解析法呢？

以E為坐標原點、EG所在直線為x軸建立如圖4所示的直角坐標系，則G(14，0)，G1(38，32)．設玻璃棒l與水面的交點為M，則EM為所求.易知EN=40，可設N(40cosα，40sinα)，因為點G，N，G1共線，所以

又(30sinα-40cosα)2+(30cosα+40sinα)2=502，

(2)

將式(1)代入式(2)，得

(30cosα+40sinα)2=482，

從而 30cosα+40sinα=48,

(3)

聯立式(1)和式(3)，得

故

由此可見，簡化運算的核心是式(2)．數學運算是數學核心素養之首，運算準確是基本，算理正確是核心．在高強度的考試氛圍中，選擇合理的運算路徑基本靠“感覺”，一般很難做到好中選優．筆者在QQ群中有幸見到南京師范大學單墫老先生“曬的墨寶”，寥寥幾行，輕松揮就，不愧為數學解題專家．

圖4 圖5

如圖5，四邊形E1EGG1是等腰梯形，過點G1作高G1Q⊥EG于點Q，則

G1Q=32=8×4.

又作NR⊥EQ,垂足為R,則

在Rt△GG1Q中，

GG1=8×5=40(勾三股四弦五).

因為G1Q∥NR，在Rt△GNR中，可設NR=4x，GR=3x,在Rt△ENR中，

EN2=ER2+NR2，

即

402=(14+3x)2+(4x)2，

所以

4x=24(x=6)， 14+3x=32 ．

過點M作MP⊥EQ，垂足為P，則MP=12，再由相似可得

1.4 函數零點，耳目一新

高中代數知識與方法涉及集合、邏輯知識、函數、數列、解析幾何、概率統計等眾多分支，但就代數的歷史發展而言，方程與函數應成為高中代數的核心．因此要仔細研究方程與函數中的思想與方法，使之成為代數推理的“工具包”．例如，填空題第14題以方程解的個數為背景，通過轉化、化歸為函數問題，滲透數形結合的思想，既有直觀形象，又有精細刻畫；推理方法既包含直接推理，也包含間接推理，對學生的代數推理能力提出了較高的要求．

(2017年江蘇省數學高考試題第14 題)

此式左邊是10的整數次冪，右邊是非整數，這是矛盾的．而此時(x-k)2為有理數，從而lgx=(x-k)2無解．也就是說，交點屬于每個周期x?D的部分，且在x=1處，

因此在x=1附近僅有一個交點．

本題作為填空壓軸題，集中體現了數學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養，是難得一見的好題．因此，高三復習教學不能盲目地做題，也不能在無多大數學意義的變式上浪費時間，復習的真諦應是進一步理解數學的本質，螺旋上升，發展學生的數學思維能力．

1.5 多題把關，思維嚴謹

把關題題目設計親切，每個小題由易到難，層層推進，既能使不同層次的考生拿到分，又較好地體現了高考的選拔功能．如解答題的最后兩道題，考查的是最簡單的等差數列和三次函數，第1)小題考生應該感到很容易上手，后面的小題設計比較新穎，雖有一定的思維量，但涉及的都是中學數學中基本的知識點和方法，如有時間仔細思考，應該都能找到解題的思路和方法，會發現其方法都是平時知道的，無需特別的技巧和方法．

例5已知函數f(x)=x3+ax2+bx+1(其中a>0，b∈R)有極值，且導函數f′(x)的極值點是f(x)的零點(極值點是指函數取得極值時對應的自變量的值)．

1)求b關于a的函數關系式，并寫出定義域；

2)證明：b2>3a；

(2017年江蘇省數學高考試題第20 題)

對于第2)小題，由第1)小題可知

要證b2>3a，只要證

在定義域a∈(3，+∞)的前提下，這個“雙三次”不等式不難證明.

對于第3)小題，理解題設不難，難在代數式的變形．

第19題數列綜合題、第20題函數與導數題集中反映了嚴謹思維、推理論證的要求．代數推理既包括演繹推理，也包括合情推理，因此特殊化和一般化也成為代數推理的一項基本技能，這在第19題中體現得淋漓盡致.因篇幅所限，本文不再贅述．

2 教學啟示

縱觀2017年江蘇省數學高考卷，延續了2008年以來的模式，知識點分布、考查要求與近幾年的江蘇卷基本一致.我們從中發現規律，服務教學，提高高三數學復習效率，在減輕學生學習負擔的同時，也減輕教師自己的負擔，在發展學生的數學思維和核心素養上多下功夫．

2.1 培養運算能力

運算求解是核心素養之首，也是數學考試的必備技能．準確是運算的最基本要求，但只有清晰、合理的算理才能產生效益．解題訓練中需注重算理的培養，包括理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果．平時指導學生注意運算與推理的結合，利用算理簡化運算過程或尋找更為合理的運算程序，教師絕不能越俎代庖，思路代替不了運算．

2．2 夯實“四基三會”

從“雙基”到“四基”是提高學生素質、發展學生能力的需要，史寧中先生積極倡導的“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”(即“三會”)更是高度概括了學生數學思維發展的方向．教材是學生學習基礎知識、形成基本技能的“藍本”，是數學思想方法的載體，是開展數學基本活動的劇本．教材的例習題都具有一定的典型性，無論是平時教學，還是總復習，都要緊扣《考試說明》，吃透教材，用好教材，充分發揮教材的基礎與示范作用[3]．

2.3 培養核心素養

正如前文所分析，試題全面體現了數學運算、抽象概括、邏輯推理、直觀想象、數學建模、數據分析等核心素養．高考題具有導向性，在即將全面推開的新的課程改革中，數學教學需要站在更新、更高的角度，把發展學生的數學核心素養作為數學教育的終極目標，在平時的教學中，教師應有針對性地對學生進行訓練、培養和發展．

[1] 余建國．提升模式層次 創新模式內涵——2016 年江蘇省數學高考試題評析[J]．中學教研(數學)，2016(10)：32-24．

[2] 劉定定．三次函數的圖像與性質[J]．中學生數學，2012(2)：7-8．

[3] 董榮森．“四基三能”并重 凸顯數學核心素養——2016年高考數學江蘇卷評析與啟示[J]．數學通訊，2016(8)：1-5．

2017-08-01

余建國(1965-)，男，江蘇南京人，江蘇省特級教師.研究方向：高中數學解題與課堂教學．

O12

A

1003 - 6407(2017)11-35-04