借鑒拓展性課程 編制拓展類試題*

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(金華市教育局教研室，浙江 金華 3210017)

借鑒拓展性課程編制拓展類試題*

●傅瑞琦

(金華市教育局教研室，浙江 金華 3210017)

初中數(shù)學(xué)拓展性課程，旨在促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的進(jìn)一步形成和個(gè)性化的發(fā)展． 通過一道中考試題的編制，探討如何基于拓展性課程設(shè)計(jì)理念，在真實(shí)的生活情景中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，設(shè)置考查方向，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生建模能力、探究能力和創(chuàng)新能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查．

拓展性; 試題編制; 思考

初中數(shù)學(xué)拓展性課程，屬于知識(shí)拓展類，包括學(xué)科的研究性學(xué)習(xí)、專題教育等，旨在拓展學(xué)生的知識(shí)面，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，突出課程的興趣性、活動(dòng)性、層次性和選擇性，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的進(jìn)一步形成和個(gè)性化發(fā)展.

這種理念如何在中考命題中體現(xiàn)呢？著眼于對(duì)“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的考查,需要有問題情景、思考過程來體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想.在真實(shí)的生活情景中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，進(jìn)行分析、合情推理，體現(xiàn)對(duì)學(xué)生建模能力、探究能力和創(chuàng)新能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查.現(xiàn)以2016年浙江省金華市數(shù)學(xué)中考卷選擇題第9題的命制過程，來探討如何運(yùn)用拓展性課程理念來設(shè)計(jì)試題.

1 素材選擇

根據(jù)試卷雙向細(xì)目表，選擇題的第9題(共10題)難度系數(shù)目標(biāo)為0.75～0.85之間，設(shè)計(jì)為幾何操作探究類問題，選擇學(xué)生熟悉的學(xué)習(xí)背景，抽象幾何圖形，借助學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累，把操作、觀察、探究融合在一起，來考查學(xué)生的幾何直觀.為此，筆者選擇一智力游戲，作為命題研究的素材.

智力游戲有5個(gè)同學(xué)站在操場(chǎng)上，其中沒有3個(gè)人在同一直線上，也沒有4個(gè)人在同一個(gè)圓周上.請(qǐng)找出3個(gè)同學(xué)用一根繩子圍成一個(gè)圓，使得剩下的兩個(gè)同學(xué)，一個(gè)在圓內(nèi)，一個(gè)在圓外.

操作過程如圖1，這5個(gè)同學(xué)分別站在點(diǎn)A，B，C，D，E，分兩步分析：1)易找到點(diǎn)A,B，使得其他3個(gè)點(diǎn)在AB的同側(cè)，則3個(gè)角∠ACB,∠ADB,∠AEB必然都不相等.若有角相等，則角的兩個(gè)頂點(diǎn)與A，B在同一圓上，不符合題意.2)不妨設(shè)∠ACB>∠ADB>∠AEB，如圖2，選中間大小的角的頂點(diǎn)D,作出過點(diǎn)A，B，D的⊙O，則點(diǎn)C在該圓內(nèi)，點(diǎn)E在該圓外.

圖1 圖2

2 素材分析

這是浙教版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第3章“圓的基本性質(zhì)”的拓展性學(xué)習(xí)內(nèi)容.解決此題可聯(lián)系圓的相關(guān)知識(shí)，利用“不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”，作出⊙O，利用“圓外角小于圓周角、圓內(nèi)角大于圓周角”這一性質(zhì)，可以判定這樣作圖的合理性.

此素材聯(lián)想了足球運(yùn)動(dòng)，如圖2，如果把AB看成球門，點(diǎn)D,C,E為射點(diǎn)，僅從射門角大小考慮，最佳的射點(diǎn)為點(diǎn)C.因此，聯(lián)想足球場(chǎng)上的進(jìn)攻與防守，容易抽象出幾何問題，有廣闊的創(chuàng)造空間，是拓展性課程設(shè)計(jì)的重要資源,從球員帶球線路的方向、守門員出擊防守等視角去研究足球運(yùn)動(dòng)，聯(lián)系對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷以“操作、發(fā)現(xiàn)、猜想和驗(yàn)證”為活動(dòng)主線的問題探究過程.在一個(gè)嶄新的背景中，關(guān)注建模能力，可以考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力，達(dá)到適度區(qū)分的目的.

3 成稿研究

方案1如圖3，AB為球門，當(dāng)球員沿EF方向進(jìn)攻時(shí)，在EF上的點(diǎn)E,F,G,H中，僅考慮射門角，射點(diǎn)最好的位置是

( )

A.點(diǎn)EB.點(diǎn)FC.點(diǎn)GD.點(diǎn)H

圖3 圖4

分析利用“三角形外角大于不相鄰的一個(gè)內(nèi)角”，如圖4，聯(lián)結(jié)GA,GB,FA,FB.在△AGF中，∠AGD>∠AFD；在△BGF中，∠BGD>∠BFD,從而

∠AGD+∠BGD>∠AFD+∠BFD,

即

∠AGB>∠AFB,

同理可得 ∠AHB>∠AGB>∠AFB>∠AEB,

因此射點(diǎn)在點(diǎn)H處射門角最大.

但是，該方案考查的知識(shí)點(diǎn)只有“三角形外角大于不相鄰的一個(gè)內(nèi)角”，比較單一，如果學(xué)生用量角器等工具量一下，就繞過了對(duì)此知識(shí)的考查.為此，加入三角函數(shù)等相關(guān)內(nèi)容，從運(yùn)球的方向角度設(shè)計(jì)問題.

圖5

方案2在如圖5所示的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B在格點(diǎn)處，球從格點(diǎn)C處沿CP方向進(jìn)攻，CP上的點(diǎn)離球門越近就越好，設(shè)∠OCP=α，tanα=t,則t的范圍是

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另外，方案1也說明了一個(gè)事實(shí)，即足球進(jìn)攻路線與球門AB有交點(diǎn)時(shí)，離球門AB越近就射點(diǎn)越好.如果沒有交點(diǎn)，那么又可以從哪些角度去設(shè)計(jì)問題？嘗試“最近路程”聯(lián)系相關(guān)知識(shí)，設(shè)計(jì)問題進(jìn)行研究.

方案3在如圖6所示的正方形網(wǎng)格中，小正方形邊長(zhǎng)為a,CD為運(yùn)球路線，球門AB中點(diǎn)M為格點(diǎn)，則點(diǎn)M到CD的最近距離是

( )

圖6 圖7

方案4在如圖6所示的正方形網(wǎng)格中，小正方形邊長(zhǎng)為a,守門員從門柱點(diǎn)A跑出阻攔足球，在DC上的點(diǎn)P處將球擊飛后跑回球門柱B,當(dāng)守門員跑的路程最小時(shí)，則該路程是

( )

圖8

A.10aB.15a

如圖8，聯(lián)結(jié)AE,則AE⊥CD,點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于CD對(duì)稱.聯(lián)結(jié)A′B，則A′B與CD的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,最短的路程

這兩個(gè)方案都是利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造CD的垂線，再應(yīng)用勾股定理求得相關(guān)線段的長(zhǎng).方案3應(yīng)用的是垂線段最短原理;方案4則是應(yīng)用軸對(duì)稱性質(zhì)作對(duì)稱點(diǎn)找最近路線，知識(shí)聯(lián)系綜合度合適，但較常規(guī)，創(chuàng)新力度不夠.

圖9

方案5如圖9，如果在球門AB前站一排人墻CD,球員從點(diǎn)A沿AP直線帶球進(jìn)攻，有∠MAP=45°，AM為人墻CD的中垂線.若AM=20a,CD=16a,點(diǎn)M到CD的距離6a，那么守門員從點(diǎn)M出發(fā)繞過人墻，在射線AP上攔截足球的最近路程是

( )

正確的作圖是：聯(lián)結(jié)CM,再過點(diǎn)C作CH⊥AP于點(diǎn)H,如圖11，則MC+CH即為攔截足球的最近路程.求解時(shí)，只要延長(zhǎng)NC交AP于點(diǎn)G,在Rt△CNM中,

圖10 圖11

另外根據(jù)圖形特征，求解CH的思路多元,如圖12～14，學(xué)生可以聯(lián)系自己熟悉的知識(shí)方法來求解.

圖12 圖13 圖14

但是此方案人為編寫痕跡過大,知識(shí)的應(yīng)用在兩個(gè)直角三角形中，都是應(yīng)用勾股定理通過計(jì)算解決，知識(shí)聯(lián)系還是比較單一.

圖15

方案6足球射門，不考慮其他因素，僅考慮射點(diǎn)到球門AB的張角大小，張角越大，射門越好.如圖15的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C,D,E均在格點(diǎn)上,球員帶球沿CD方向進(jìn)攻，最好的射點(diǎn)在

( )

A.點(diǎn)CB.點(diǎn)D

C.點(diǎn)ED.線段DE的中點(diǎn)

分析點(diǎn)到球門AB的張角，自然聯(lián)系以AB為弦的圓，這個(gè)圓的圓心在AB的中垂線CM上，這就引導(dǎo)學(xué)生去嘗試畫圓.

作過點(diǎn)A,B,C的圓，如圖16，格點(diǎn)F即為AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)FG與CM交點(diǎn)O1即為圓心，這時(shí)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D,E都在該圓的內(nèi)部，即∠ACB最小；作過點(diǎn)A,B,E的圓時(shí)，AE的中垂線與CM交點(diǎn)O2即為圓心，作出⊙O2時(shí)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D也在該圓上(如圖17).若設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為a，則

這也說明了點(diǎn)A,B,D,E共圓，于是∠ADB=∠AEB，這時(shí)DE的中點(diǎn)在⊙O2內(nèi).故選D.

圖16 圖17

但是，該方案在選項(xiàng)的設(shè)置上，點(diǎn)D與點(diǎn)E在同一圓上，選項(xiàng)B,C迷惑不強(qiáng)，難以甄別學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的清晰認(rèn)識(shí).另外，最好的射點(diǎn)是否在DE的中點(diǎn)還有待探究.為此，將選項(xiàng)適當(dāng)修改，形成方案7.

方案7(定稿) 足球射門，不考慮其他因素，僅考慮射點(diǎn)到球門AB的張角大小，張角越大，射門越好.在如圖15所示的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C,D,E均在格點(diǎn)上,球員帶球沿CD方向進(jìn)攻，最好的射點(diǎn)在

( )

A.點(diǎn)CB.點(diǎn)D或點(diǎn)E

C.線段DE(異于端點(diǎn))上一點(diǎn)

D.線段CD(異于端點(diǎn))上一點(diǎn)

分析定稿后的試題，以足球射門最好的射點(diǎn)位置探究為背景，要求學(xué)生結(jié)合文字信息，在其示意圖中，通過“聯(lián)系知識(shí)、畫圖操作、探究猜測(cè)”來確定最好的射點(diǎn)，為學(xué)生提供了探究、發(fā)現(xiàn)、思考的空間，較好地考查了學(xué)生對(duì)圓知識(shí)的理解、掌握和靈活運(yùn)用的程度，以及學(xué)生的空間觀念、空間想象與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，加強(qiáng)了對(duì)數(shù)形結(jié)合思想與合情推理能力的重視．

背景用網(wǎng)格，避免了學(xué)生作圖過程中的繁瑣過程，充分利用圖形內(nèi)在的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系來考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解層次.

圖18

進(jìn)一步思考：最大射角的點(diǎn)是否在線段DE的中點(diǎn)處？如圖18，設(shè)過點(diǎn)A，B的⊙O與EC相切于點(diǎn)P,設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為a，⊙O半徑為x,則

在Rt△AOM中，

AM2+OM2=OA2,

即

化簡(jiǎn)得

此時(shí)

3 命題反思

該試題的編制過程采用“選擇生活情景，聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)，抽象數(shù)學(xué)模型，探究考查方向”的方法，通過不斷嘗試，形成試題.這給編制含有拓展性課程設(shè)計(jì)理念的數(shù)學(xué)試題帶來很多啟發(fā).

1)選擇實(shí)際情景.為了考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，選擇一個(gè)真實(shí)的、蘊(yùn)含數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際生活情景，通過建模，抽象出數(shù)學(xué)問題，來實(shí)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化.足球場(chǎng)地，學(xué)生極為熟悉，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)極為豐富，是拓展性課程常選的素材.從游戲、最值問題到最佳射點(diǎn)的探究，這需要激活學(xué)生原有的知識(shí)和能力以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用到該情景之中，有一定的現(xiàn)實(shí)意義，關(guān)注了空間圖形與生活的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值.

2)設(shè)置考查問題.試題的問題設(shè)置：1)設(shè)問方向聯(lián)系實(shí)際需求，當(dāng)運(yùn)球路線所在直線與球門AB有交點(diǎn)時(shí)，研究張角大小;當(dāng)運(yùn)球路線所在直線與球門AB無交點(diǎn)時(shí)，一方面探究守門員到運(yùn)球路線的最近路程，另一方面是帶球隊(duì)員進(jìn)攻時(shí)射點(diǎn)的選擇，接近于生活實(shí)際.2)問題呈現(xiàn)體現(xiàn)研究過程，如定稿后的試題，聯(lián)系到有關(guān)圓的知識(shí)后，作過點(diǎn)A，B的圓時(shí)，需要幾何直覺，根據(jù)正方形網(wǎng)格隱含的幾何條件，作⊙O1得出∠ACB最小，利用三角形相似作中垂線后進(jìn)一步作出⊙O2，并通過計(jì)算驗(yàn)證得4個(gè)點(diǎn)A,B,D,E共圓,得出∠ADB=∠AEB，線段DE(異于端點(diǎn))在⊙O2內(nèi),容易得出答案.讓學(xué)生經(jīng)歷以“操作、發(fā)現(xiàn)、猜想和驗(yàn)證”為活動(dòng)主線的問題探究過程，在問題的解決過程中，包含對(duì)模型的分析和對(duì)方法的思考.

3)體現(xiàn)教學(xué)導(dǎo)向.抽象出的幾何圖形是學(xué)生熟悉的，聯(lián)系知識(shí)后畫圖探究離不開學(xué)生平時(shí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累，將圓、正方形、直角三角形等核心知識(shí)，通過圖形變化聯(lián)系在一起，借助轉(zhuǎn)化、猜想、計(jì)算等形式，較好地實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的整合,突出考查學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題的思維過程,體現(xiàn)良好的教學(xué)導(dǎo)向，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)關(guān)注切實(shí)的體驗(yàn)、實(shí)踐以及數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，重視讀圖、認(rèn)圖、釋圖能力的培養(yǎng).

2017-06-30

傅瑞琦(1966-)，男，浙江金華人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123． 1

A

1003 - 6407(2017)11-24-04