關注基本模型提煉 拓寬問題解決思路*
——以2017年麗水市數學中考第16題為例

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(溫州市第十七中學,浙江 溫州 325000)

關注基本模型提煉拓寬問題解決思路*
——以2017年麗水市數學中考第16題為例

●葉茂恒

(溫州市第十七中學,浙江 溫州 325000)

文章梳理了常見的幾何基本模型( 一線三等角型、倍半角模型、12345 型等) ，應用這些模型，并采用多種方法解決了2017 年浙江省麗水市數學中考試題第16 題，呈現解題中基本模型的選擇、聯想、應用等過程，凸顯基本模型與結論在數學解題中的實用價值．

一線三等角型; 倍半角模型; 12345 型

近年來，大量教師在網絡上開展解題研究，他們對初中數學實用解題模型較為關注，并注重研究初中數學解題的有效方法，從而實現初中數學解題技能的提升與數學思想方法的有效落地.目前初中階段數學常用的幾何模型有一線三等角型、倍半角模型、12345型等等.這些模型在很多中考問題的解決上有著重要作用，它是分析與解決數學問題的利器.如2017年浙江省麗水市數學中考第16題的第2)小題，應用這些模型可快速找到解題突破口.筆者以此題為例，應用各種模型一題多解.

圖1 圖2

1 試題呈現

例1如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-x+m分別交x軸、y軸于點A，B，已知點C(2，0).

1)略.

2)設點P為線段OB的中點，聯結PA，PC，若∠CPA=∠ABO，則m的值是______.

(2017年浙江省麗水市數學中考試題第16題)

模型1一線三等角型[1]

如圖2，若∠A=∠DBE=∠C，則△ADB∽△CBE.此模型中，一直線(AC)的同側有3個相等的角(∠A=∠DBE=∠C)，通常稱為一線三等角型，也稱為M型相似.當∠A=∠DBE=∠C=90°時，稱為三垂直型也稱為K型相似，三垂直型是一線三等角型的一種特殊情況.

在圖1中直線OB的一側,若有∠CPA=∠ABO=45°，則可在直線OB的同側構造一個45°角，即可構造出一線三等角模型.

解法1如圖3，在y軸的負半軸上取點E(0，-2)，則可得△OCE為等腰直角三角形，即

∠CPA=∠ABO=∠PEC=45°，

從而

△ABP∽△PEC，

于是

AB∶BP=PE∶CE，

即

解得m=12.

評注一般地，在一直線上已有兩個相等的角時，往往可以再添加一等角，構造一線三等角模型求解.在求解過程中，不難證明∠PAB=∠OPC，而△OPC為直角三角形，以∠BAP為銳角構造一個與△OPC相似的直角三角形即可求解.

圖3 圖4

解法2如圖4，過點P作PE⊥AB，垂足為E.由∠BPE=∠CPA=45°,得

∠APE+∠CPO=90°，

又∠APE+∠PAE=90°，從而

∠CPO=∠PAE，

于是

△AEP∽△POC，

可得

AE∶OP=PE∶OC，

即

解得m=12.

評注事實上，由∠CPA=45°往往會聯想到構造等腰直角三角形，有了直角三角形進一步會聯想到構造三垂直型[2]的一線三等角，這也是在平面直角坐標系中常用的方法.

解法3如圖5，過點A作AE⊥PC，垂足為點E，過點E作EF∥x軸，交y軸于點F，過點A作AG⊥EF，垂足為G，則△PAE為等腰直角三角形，且△PFE≌△EGA.設EF=t，則

因為EF+EG=OA=m，所以

OC∶EF=PO∶PF，

即

解得m=12.

類似地，還可以過點C作AP的垂線段構造等腰直角三角形，再構造一線三等角型.

圖5 圖6

解法4如圖6所示作輔助線，則圖6中含母子相似三角形(△CEF∽△EAF∽△ACE)、一線三等角型(△CEF∽△EPG)、A型相似(△PAO∽△EAF)等基本圖形，從而

△CEF∽△EAF∽△PAO,

于是CF∶EF=EF∶AF=OP∶OA=1∶2，

進而

CF∶AF=1∶4，

即

EF=2CF，AF=4CF.

又因為OF=PG=EF，所以

OC+CF=2CF，

即

CF=OC=2，

故

m=AC+OC=6OC=12.

評注解法3與解法4都是過點C或點A作45°角的另一邊的垂線段構造等腰直角三角形.事實上，也可以過點C或點A作45°角上點C或點A所在邊的垂線段構造等腰直角三角形，然后構造三垂直型求解.

圖7

解法5如圖7，過點C作CD⊥PC，交PA于點D，過點D作DE⊥OA，垂足為E，則

△OPC≌△ECD，

從而DE=OC=2，

又因為△DEA∽△POA，所以

DE∶EA=OP∶OA=1∶2，

從而

AE=2DE=4，

于是

解得m=12.

圖7

解法6如圖8，過點A作AD⊥PA，交PC的延長線于點D，過點D作DE⊥OA，垂足為E，則

△POA≌△AED，

又因為△DCE∽△PCO，所以

OC∶CE=OP∶DE=1∶2，

從而

CE=2OC=4，

于是

m=OA=2OE=12.

模型2倍半角模型

倍半角模型是指兩個有公共頂點的有倍角或半角關系，在這種圖形模型中存在一些常用的結論或方法.較為常用的是正方形內45°半角模型結論：如圖9，在正方形ABCD中，從頂點A出發的45°角的兩條射線與邊BC，CD分別交于點E，F，聯結EF，則BE+DF=EF.簡證如下：

圖9 圖10

如圖10，可將△ADF旋轉到△ABF′，進而證得△AEF≌△AEF′，于是

EF=EF′=BE+BF′=BE+DF.

解法7如圖11，過點P作PE∥x軸交AB于點E，過點E作EF⊥OA，垂足為F，EF交AP于點G.由∠ABO=45°,得

從而四邊形PEFO為正方形.由正方形45°半角結論知

EG+OC=CG,

故

解得m=0(舍去)或m=12.

圖11 圖12

解法8也可如圖12所示作輔助線，類似于解法7可列出方程

從而求得m=12.

這種兩角之間存在一半或一倍的關系，往往可聯想到同弧所對的圓周角與圓心角之間的聯系，不妨將45°角看成是某個圓的圓周角，那么此角所對弧所對的圓心角為直角，可利用倍角關系構造出直角三角形，進而結合勾股定理與垂徑定理解決問題.

解法9如圖13，作AC的中垂線ME交AB于點M，交AC于點E，聯結CM，PM，則△CMA為等腰直角三角形.又∠APC=45°，從而點P落在以M為圓心、AM為半徑的圓上，于是

PM=CM.

過點M作MF⊥OB，垂足為F，則

MF2+PF2=CM2，

解得m=12.

圖13 圖14

模型312345型

如圖14，在邊長為3，4，5的Rt△ABC外構造兩個邊長為5的等腰△ABE和△ABD，則CE=9，CD=8.設∠D=β，∠E=α，則∠BAC=2β，∠ABC=2α，計算可得

α+β=45°.

整理可得一般性結論如下：

圖15

解法10仿解法7做輔助線(如圖15)，則

又∠HPI+∠OPC=45°，由12345型相關結論得

即

OP=3OC=6，

從而

解得m=12.

圖16 圖17

圖18 圖19

在數學解題中，“如何發現問題的突破口”是很多學生較為困惑的.很多學生在解題時抱著一種盲目心態，而基本模型的提煉學習，可以引導學生從眾多的數學問題中尋找到具有共性的模型，這樣在提高歸納能力的同時，還能為學生解題提供準確的思考方向和線索.

波利亞在《怎樣解題》中提出：在擬訂方案時應當回顧是否解過類似的問題，能否將問題轉化為已解決的問題[3].由于學生已接觸過大量的數學問題，一方面在大腦中的檢索過慢，另一方面很多問題沒有歸納典型模型，大量信息相互干擾，不利于回顧.在回顧與解題之間增加一個提煉數學模型的過程，可以減少大量數據記憶，在大腦加深典型模型印象，提高回顧檢索效率，從而更好地拓展解題思維.

[1] 周禮寅．一線三等角模型的建立與應用[J]．中國數學教育，2012(10)：27-30．

[2] 沈占立．例說與正方形有關的“三垂直”[J]．中學生數理化，2015(6)：23．

[3] 波利亞．怎樣解題[M]．涂泓，馮承天，譯．上海：上海科技教育出版社，2002．

2017-09-11

葉茂恒(1975-)，男，浙江溫州人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O123． 1

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1003 - 6407(2017)11-09-04