高中數(shù)學例題解答中導數(shù)的應用

劉牧琦

摘要 在高中數(shù)學知識學習當中，導數(shù)是我們學習當中的重要內(nèi)容與知識點，并在我們整體數(shù)學學習當中具有著重要的作用發(fā)揮。函數(shù)單調性、切線以及極值問題等都同導數(shù)的應用具有關聯(lián)。在本文中，將就高中數(shù)學例題解答中導數(shù)的應用進行一定的研究。

關鍵詞：高中數(shù)學；例題解答；導數(shù)應用；

1 引言

在高中數(shù)學體系當中，導數(shù)具有著非常重要的作用與地位，同時也是我們未來高考當中主要的得分點。在高校微積分學習當中，也同導數(shù)的實際應用間始終具有著十分密切的聯(lián)系。但是根據(jù)班級當中其余同學學習情況的觀察，發(fā)現(xiàn)大家在導數(shù)學習當中還存在著一定的困難，并因此對導數(shù)教學效果產(chǎn)生了較大的影響。對此，即需要能夠做好導數(shù)應用方向以及對應例題的積極學習，以此不斷提升自身導數(shù)學習水平。

2 高中數(shù)學解題中導數(shù)應用

2.1 基本問題求解

在數(shù)學例題當中，通過導數(shù)方式的應用，不僅能夠簡化解題過程，且能夠實現(xiàn)我們思維的有效拓寬，通過多種解答方式的應用不斷提升我們的數(shù)學思維。以一道基礎的導數(shù)例題為例：已知有y=（1+cos2x）2，求該函數(shù)的導數(shù)y。對于該題目，可以說是一道非常典型的求導例題，在實際解題中，如果我們沒有對復合函數(shù)的求導方式進行熟練的掌握，則可能因此導致錯誤出現(xiàn)。在該題目中，2x當中的數(shù)字2不能夠將其同x的系數(shù)等同，而需要以復合函數(shù)形式對其進行求導。在經(jīng)過觀察對該題目的關鍵點了解后，即可以正式對該問題進行解答，首先，要

2.2 求解極值

在高中函數(shù)知識學習當中，對于極值的求解是一項重點問題，同時也是我們實際學習當中必須能夠熟練掌握的。在以往沒有將到導數(shù)應用在函數(shù)極值求解時，對于函數(shù)極值的求解可以說一直是數(shù)學學習當中存在的難點。在函數(shù)最值的求解當中，具有著較多的方法，且在整個過程當中將涉及到較多的數(shù)學知識點，可以說是一項具有較強綜合性的問題。導數(shù)的出現(xiàn)，不僅將對函數(shù)極值的求解步驟進行有效的簡化，且能夠對函數(shù)求解思路進行有效的豐富。在我們現(xiàn)階段面對的考題當中，在涉及到函數(shù)極值問題時，通常是對某個函數(shù)期間極小值以及極大值的求解，對于該種情況，即需要通過數(shù)形結合思想的應用將函數(shù)極值點同區(qū)間端點位置進行比較，以此實現(xiàn)極小值、極大值取值點的確定。如有一道關于極值方面的例題：已知有函數(shù)f（x）=x2+x，求解函數(shù)在R上的極值。在導數(shù)思想下，則可以按照以下方式進行求解：根據(jù)題目內(nèi)容，可以獲得f（x）=2x+1，當導數(shù)大于0時，可以獲得x>-0.5。而當導數(shù)小于0時，則可以獲得x<-0.5。對此，當x正好等于-0.5時，該函數(shù)則將具有極小值-0.5，且不存在極大值。

2.3 分析函數(shù)單調性

在以往面對函數(shù)的單調性問題時，通常以圖像法進行分析，即通過對函數(shù)圖像直接觀察，使用減函數(shù)以及增函數(shù)定義的方式判斷函數(shù)單調性。但對于該方式來說，其對于復雜函數(shù)則存在著不適用情況。在該種情況下，通過導數(shù)知識的應用對函數(shù)單調性進行求解則成為了一種有效方式。在以該方式處理時，一項基本要點即先對函數(shù)的導數(shù)進行求解，在將其作為獨立函數(shù)看待的基礎上使其同0進行對比，以此對該導數(shù)在不同區(qū)間的大小關系進行得出。如當x在[a，b]區(qū)間時，如導數(shù)大于0，那么在該區(qū)間原函數(shù)則具有著單調遞增情況。而當x在[a，b]區(qū)間時，如導數(shù)小于0，那么在該區(qū)間原函數(shù)則單調遞減。

2.4 求解切線問題

對于導數(shù)的幾何意義來說，即是其在某點位置所具有的切線斜率，在該問題當中，導數(shù)的作用即實現(xiàn)幾何圖形同導數(shù)間的結合，如三角曲線、指數(shù)曲線以及圓錐曲線等都將以導數(shù)方式進行求解。在以往的學習當中，在面對復雜切線問題時，往往還是以老思路與方法進行求解，同時導數(shù)的存在，也將對切線問題的提供了更廣的解決思路。受到思維定式的影響，我們在數(shù)學問題求解時經(jīng)常會存在一定的局限性，而通過導數(shù)思想的應用，則能夠對數(shù)學問題的解決方式形成了較好的創(chuàng)新，如可以使用導數(shù)知識進行立體幾何、向量以及解析幾何的求解等。在高中數(shù)學學習當中，坐標系切線方程可以說是較為常見的題目類型，在該類題目中，在已知條件當中將給出曲線外坐標點，之后根據(jù)該點實現(xiàn)曲線切線方程的求解。在具體對該類題目進行解答時，導數(shù)可以說是較為常用且十分簡單的解題方式。有一道關于導數(shù)的例題：有一條曲線C，其曲線方程為y=f（x），求過點A（x0，y0）曲線切線方程。在該題目當中，主要是對我們導數(shù)概念的應用與理解方式進行考察。對此，我們在面對該題目時需要先做好題目的分析，即判斷曲線C上是否存在點A，并根據(jù)函數(shù)對其進行求導，在求導完成后根據(jù)結果求解。首先，我們可以設該點即處在曲線C上，此時需要求的切線方程即為y-y0=f（x0）（x-x0），以此即可以獲得該題目的答案。同時，還需要對另一種情況進行考慮，即當點A沒有處在曲線C的情況，此時，即需要求出其對應的切點（x1，y1），通過求導的方式獲得該切點值，即該切線所經(jīng)過的點，以此完整的實現(xiàn)問題的解答。

3 結束語

在上文中，我們對高中數(shù)學例題解答中導數(shù)的應用進行了一定的研究。作為我們高中數(shù)學學習當中的重點內(nèi)容，在實際學習當中也需要做好下述問題的了解：要對導數(shù)在數(shù)學教學當中的作用靈活發(fā)揮，將幾何、函數(shù)以及不等式方面內(nèi)容同導數(shù)學習間緊密結合，對導數(shù)實際應用當中的異同點準確找出。同時，要在學習當中積極尋求、掌握不同知識間存在的內(nèi)在聯(lián)系，對教學效果、教學效率不斷強化，以此不斷提升自身的數(shù)學水平。

參考文獻

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