關(guān)于積分上限函數(shù)特性的進一步研究

紀銘

摘要：本文通過例題解析的形式對高等數(shù)學中積分上限函數(shù)的函數(shù)特性（單調(diào)性、奇偶性等）進行分析和總結(jié)，希望加深學生對積分上限函數(shù)的理解和運用。

關(guān)鍵詞：積分上限函數(shù) 單調(diào)性 奇偶性

積分上限函數(shù)是高等數(shù)學中一類具有特殊形式的函數(shù)，在證明原函數(shù)存在定理和牛頓—萊布尼茲公式定理中占有重要地位。同時積分上限函數(shù)的函數(shù)特性是可以像一般函數(shù)一樣進行研究，如單調(diào)性、奇偶性、極值等。

1.知識準備

定理1 如果函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則積分上限函數(shù)

在[a，b]上可導，并且它的導數(shù)

由這個定理可知，若符號確定，則可以確定的單調(diào)性以及極值問題；根據(jù)的奇偶性來確定的奇偶性等。

2.例題解析

例1 設(shè)為上的連續(xù)奇函數(shù)，且單調(diào)增加，則是

（A） 單調(diào)增加的奇函數(shù) （B）單調(diào)增加的偶函數(shù)

（C） 單調(diào)減小的奇函數(shù) （D）單調(diào)減小的偶函數(shù)。

【分析】對被積函數(shù)作變量替換就有

由于為奇函數(shù)，故為偶函數(shù)，于是為奇函數(shù)；又因為偶函數(shù)，從而為奇函數(shù)。綜上所述為奇函數(shù)。

在0與之間，無論還是由單調(diào)增加，都有應選C。

例2 設(shè)試求：

（1）的極值；

（2）曲線的拐點的橫坐標；

（3）

【解】（1）因此可知在處取極小值0，且無其他極值。

（2），，當且僅當時，且在兩側(cè)變號，即知為曲線的拐點的橫坐標。

（3）

3.小結(jié)

積分上限函數(shù)是以一種新的定義方式出現(xiàn)的函數(shù)，在學習難度上較大，但歸根結(jié)底，積分上限函數(shù)作為一般函數(shù)，它就自然會涉及關(guān)于有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本特性的研究。本來只從兩個角度單調(diào)性和奇偶性進行例題解析，后續(xù)會有一些更深入的研究。

參考文獻：

[1]數(shù)學分析[M] 華東師范大學數(shù)理系 高等教育出版社 2001

[2]數(shù)學輔導全書（數(shù)學一）[M] 李正元 李永樂 范培華 中國政法大學出版社 2017

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