小學數學類比推理活動經驗目標制訂的原則研究

章穎

摘 要：《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出：在數學課程中，應當注重發展學生的推理能力，提高學生解決現實問題的能力。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比推理等推斷某些結果。文章依托小學數學教學中的相關案例來闡述教師在制定類比教學目標時應遵循的原則。

關鍵詞：小學數學；類比；推理活動

制定類比的教學目標和創設類比活動時存在一定主觀因素上的差異，這使得教師在制定的教學目標時也會產生差異，目標引領下的類比活動不盡相同，學生獲得的類比經驗就會有所不同。所以，挖掘類比教學的目標，并制定適合學生年齡特點的類比推理活動，讓學生獲得類比活動經驗，把握制定類比教學目標的原則顯得尤為重要。

一、攫取類比對象本質，異中求同

教師在課堂上設計豐富多樣的類比活動幫助學生回憶舊知識，聯系新舊知識的生長點。類比活動建立在學生對已知事物屬性了解的基礎上，教師枚舉數個同一類型的對象，讓學生在活動中發現這些類比對象本質規律上的相似，把它的具體形象逐步抽象，類比遷移，再總結歸納出這一類本質規律相同的對象的數學模型。這樣搭建引橋，以激發學生從已知走向未知的好奇心。以人教版一年級下冊“兩位數加一位數、整十數”這一課為例：

1.“兩位數加一位數”算法上的相似性

如新授“25+2=？”，在學生理解兩位數加一位數算理，并掌握了算法時，進一步引發學生思考：兩位數加一位數都能用這樣的方法來計算嗎？你會計算這三個算式嗎？61+7，53+6，32+4。讓學生邊計算邊思考這三個算式與例題25+2的相同點，運用算理感悟四個算式算法都相同。于是遷移類推出“兩位數加一位數”的算法：先把個位相加，然后將十位與個位合起來。

2.“兩位數加兩位數” 算法上的相似性

掌握“兩位數加一位數”的算法后，組織學生合作學習“25+20=？”。“25+20，怎樣計算？你能和同桌一起擺一擺，算一算嗎？提出合作要求：①自己獨立擺小棒，邊擺邊算。②和同桌介紹你是怎樣擺的？說一說先算什么，再算什么？”由于學生在學習“25+2=？”時展示了多樣的計算方法，理解了5個一加2個一等于7個一，此時類推5個十加2個十等于7個十，并再次嘗試計算33+60，52+30，41+20。對比在計算兩位數加整十數時，我們都是怎樣計算的呢？先把十位相加，再把十位和個位合起來。

3.“兩位數加一位數”與“兩位數加兩位數” 算法上的相似性

結束兩個例題的教學時，對比“25+2”和“25+20”的計算方法。剛才我們學會了兩位數加一位數和兩位數加整十數的計算方法。它們的計算方法相同嗎？在對比中發現，“兩位數加一位數”先把個位相加，“兩位數加整十數”先把十位相加，綜合兩種計算順序，像這樣個位和個位相加、十位和十位相加也就是相同數位相加。類比兩種計算方法，發現計算時只有數位相同時才能相加。計算時關鍵是看清加的是一位數，還是整十數。如果加數是一位數就要加在個位上，如果加數是整十數就要加在十位上。

兩個例題的學習分別在教師引導學生操作、學生進行不同類型類比活動的基礎上進行。教師時時監控類比的方式，如“你會計算這三個算式嗎？61+7，53+6、32+4”“25+20怎樣計算？你能和同桌一起擺一擺，算一算嗎？”“回顧比較兩種類型計算25+2和25+20的計算方法”等，使之與學習活動相互促進，逐步呈現類比經驗的過程性目標要求。在本質相似的對象中找相同的屬性，在相同的屬性中尋找差異，并趨近于結果性目標，逐步將學生已經積累的基本類比經驗遷移到當下、后續的學習中去，實現知識的正遷移，使繁復的知識系統構建清晰的脈絡。

二、豐富類比活動形式，明晰差異

兩個類比對象之間的相似度很高，學生在觀察、比較這類形式相近的事物時，往往會將陌生對象與已認知的相近的類比對象進行假設，聯想、遷移這類相近的事物屬性來探索未知對象具有的屬性。這種以對象之間的相似度為基礎的類比，即使在形式上相似度很高，但本質上存在一定的差異。從相同的屬性中找到差異，并探索類比對象之間的聯系，就能順利地探索出不熟悉的類比對象的屬性。

人教版二年級下冊“表內除法（一）解決問題”一課教材使用相似度極高的兩道題目作為例題。這是學生已經初步認識除法，初步建立平均分的概念，能比較熟練地用2～6的乘法口訣求商后，進一步理解平均分的含義，用除法的運算解決簡單的實際問題。

課前選取6道學生已經學習過的除法練習分類，學生根據以往知識經驗、搜索認知結構分析，初步感知類比問題，這樣能為進一步幫助學生掌握類比方法提供媒介。新授時，引導學生閱讀審題，感知兩種平均分類型的差異，繼而畫圖分析差異，然后列式抽象想法，最后用語言敘述歸納總結，用不同的方式表征問題結構、分析數量關系，明晰平均分的兩種類型的內在聯系與本質區別。學生運用類比對象的相似性，帶著解決類比類型問題的思考，對除法的兩種類型題目進行分析、研究，進一步豐富和提升類比推理的經驗。

三、經歷類比學習過程，建立模型

1. 創設情境，搭設橋梁

教師引導學生在已有知識與未知知識之間搭設橋梁，首先要求學生對已有知識掌握嫻熟，這樣他們發現類比對象之間可能存在某種關聯。類比對象之間既有相似又存在不同，往往可以通過這樣的對比，探索新對象與已知對象的共同之處，又可以發現它們的獨特個性，這樣的教學符合學生的認識規律。endprint

人教版三年級上冊教學“認識幾分之一”一課，學生在認識實物模型的—后，類比推理認識其他的幾分之一。聯系前面學習的例子，教師帶來不同類型的直觀圖，讓學生思考下列圖形的陰影部分是否可以用幾分之一來表示，如果可以，讓學生和同桌說說這個分數表示的意思。借助面積模型、線段模型使學生認識幾分之一，體會分數的含義，明確幾分之一都表示把一個物體或者圖形平均分成幾份，取這樣的一份。

這種借助生活情境中熟悉直觀圖的推理方式，學生在已經形成實物模型的—的概念后，獲得兩個相對量的抽象理解，建立幾分之一這樣一種類型數的概念，從一到多，推己及彼，是對分數認識的一個飛躍，分散了對抽象數的理解難度。

2.類比猜想，探索思路

將新知識與已有知識的相似屬性進行類比，摸索解決問題的策略，可以實現知識與方法的正遷移，使教學活動起到事半功倍的效果。同一個類比活動可能常常蘊含著多種類比教學的方式，有時也會相互交叉，學生在類比活動中通過關系相似猜想結果，從已經形成的經驗性知識嘗試推理出另一個新知識的相似屬性，理解概念，抽象出數，構建數學模型，正是教師從不同的角度提高學生數學類比活動經驗的表現。

在上述一課里，自主探索認識—是學生感受分數整體和部分關系的關鍵。

首次類比，辨析整體不變，部分相同。教師給每位學生準備了一張同樣大小的正方形紙，學生通過折一折、畫一畫，用陰影部分表示出正方形的—。如圖所示：

它們都可以表示這個正方形的—嗎？為什么陰影部分形狀不同，卻都能用—來表示呢？引導學生類比小結歸納：它們都是把同樣大的正方形平均分成4份，取一份也就是它的—。強調整體不變，平均分的份數不變，都取一份，部分也不變。

再次類比，辨析整體改變，部分改變。大正方形是否也可以用—來表示？如圖所示：

引導學生從分數的意義類比，小正方形的—指的是把小正方形平均分成4份，取一份。大正方形的—指的是把大正方形平均分成4份，取一份。小正方形和大正方形的陰影部分都能用—來表示，但是它們的大小卻不同。強調整體不同，平均分的份數不變，都取一份，部分卻會發生變化。

第三次類比，部分不變，整體改變。課件出示小正方形拼出的各種圖形，除第一個圖形外，在拼接時逐一出現每一個圖形的小正方形，讓學生比比誰能更快說出陰影部分表示的分數。如右上圖所示：

第一個圖形學生說出分數很輕松，從第二幅圖開始由于拼組所使用的小正方形逐一出現，學生發現每出現一個小正方形分數就會發生變化，到第三個圖形的小正方形不斷變化的時候，學生不再受教師引誘說出分數，而表示不知道整個圖形的大小所以不能確定分數。借鑒之前的學習經驗，學生對幾分之一的理解更加深刻，歸納總結出：陰影部分相同，當整體發生變化，分數就會發生變化。有趣的類比活動重點發展學生的觀察力，激發學生已有的分數模型，深入理解分數，抽象分數的本質意義。

3.發現結論，拓展延伸

能用幾分之一表示的分數有無窮個，教師提供給每個學生一樣大小的長方形，學生嘗試遷移分數，創造自己喜歡的分數。不同大小的分數在學生手里紛紛呈現：—，—，—，—，—，— ……直覺聯想，遷移創造，對比觀察，發現結論：當整體不變時，平均分的份數變化了，分數就會發生變化。

有些學生取的分數不同，還有呈現幾分之幾：—，—，—……再次觀察，得出結論：當整體不變時，平均分的分數也不變，但取的份數變化了，分數也會發生變化。這樣數學課堂便把類比的作用發揮得淋漓盡致，將某一類事物的知識推廣到另一類事物上，對構建自我的知識系統具有重大意義。

類比活動的條件和結構之間有這樣相似或相異的形態，制訂教學目標時，教師因需置宜類比對象之間的聯系，判斷這樣的類比教學是否存在本質特性、活動形式、教學實施方面的相似性，再引導學生去類推猜想，并不斷地修正和完善類比推理結論，學生在不斷探索的過程中體驗、積淀推理活動的經驗，從而把類比推理能力引向更為廣泛的領域，引申出更有價值的問題。

參考文獻：

[1]黃朝陽.中國古代的類比[M].北京：社會科學文獻出版社，2006.

[2]劉 霖.論推類與傳統類比推理[J].湘潭師范學院學報（社科版），2007 （1）.endprint