關于積分變限函數求導數的探討

紀銘

摘要：本文通過例題解析的形式對高等數學中積分變限函數求導數問題進行分析和總結，希望加深學生對積分變限函數的理解和運用。

關鍵詞：積分變限函數 變限積分 求導

積分變限函數是高等數學中一類具有特殊形式的函數，在證明原函數存在定理和牛頓—萊布尼茲公式定理中占有重要地位。同時積分上限函數又作為一般函數，一般常見題型以求導數為主。

1.知識準備

定理1 如果函數在區間[a，b]上連續，則積分上限函數

在[a，b]上可導，并且它的導數

定理2 如果函數在區間[a，b]上連續，那么函數

就是在區間[a，b]上的一個原函數。

2.例題解析

例1 設連續，則

（A） （B）

（C） （D）

【分析】這是上下限均為已知函數的變限積分，直接由變限積分求導法得。故選A。

例2 設求

【分析】被積函數含自變量，不能直接求導，需要先轉化到積分外面去。

對被積函數做恒等變形，配方法得，于是

例3 求

【分析】這是求型的極限。用洛必達法則時就要求變限積分求導數。

3.小結

積分變限函數是以一種新的定義方式出現的函數，在學習難度上較大，但歸根結底，積分變限函數的基礎是求導數，因此，掌握其求導數的基本方法并加以練習和延拓，必能將積分變限函數掌握。

參考文獻：

[1]數學分析[M] 華東師范大學數理系 高等教育出版社 2001

[2]數學輔導全書（數學一）[M] 李正元 李永樂 范培華 中國政法大學出版社 2017endprint