對稱性在二重積分中的應(yīng)用

紀(jì)銘+杜朝麗

摘要：多元函數(shù)積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重難點內(nèi)容，作為基礎(chǔ)，二重積分的簡化途徑的掌握非常必要，本文基于被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)間的對稱性來簡化二重積分的計算。

關(guān)鍵詞：奇偶函數(shù)；對稱性；二重積分

二重積分的計算是高等數(shù)學(xué)的重難點內(nèi)容，是多元函數(shù)積分學(xué)的基礎(chǔ)，是對定積分的推廣，因此一元函數(shù)中奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的簡化計算方法頁適用于二重積分，本文基于被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對稱性來簡化二重積分的計算，在計算時，要有意識的運用這些方法，來提高解題技巧。

1.積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸對稱

D關(guān)于x軸對稱，若被積函數(shù)關(guān)于y是偶函數(shù)，則原積分可寫作2倍一半?yún)^(qū)域上的積分；若被積函數(shù)關(guān)于y是奇函數(shù)，則原積分值為0。（偶倍奇零）

若D關(guān)于x軸對稱，則

其中，和 分別表示關(guān)于y是奇函數(shù)和偶函數(shù)。

類似地有結(jié)論：D關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于x同樣有“偶倍奇零”的結(jié)論。

例1. 設(shè)平面區(qū)域求。

解：[分析與求解]將被積函數(shù)展開為：，我們發(fā)現(xiàn)這六項的每一項都必是x或y中其一的奇函數(shù)，積分區(qū)域D既關(guān)于x軸對稱，又關(guān)于y軸對稱，根據(jù)對稱性結(jié)論，遇奇則零。因此該積分值為0.

其中第一個等號是由于D關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)遇y的奇函數(shù)就為零；第二個等號是由于D關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)遇x的奇函數(shù)也為零。

例2. （2015考研真題）計算二重積分的值，其中

解：[分析與求解]積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，

2.積分區(qū)域關(guān)于特殊直線對稱（輪換對稱）

區(qū)域關(guān)于直線對稱，即則

這種對稱也叫做輪換對稱，其中地位相同，互換位置積分值不變。同理區(qū)域關(guān)于直線對稱，則地位相同，因此也有相似結(jié)論（不做要求）。

例3. （2014考研真題）設(shè)平面區(qū)域計算

解：[分析與求解]區(qū)域D關(guān)于直線對稱，被積函數(shù)

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3.小結(jié)

在二重積分計算中，利用區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性能大大簡化計算過程，需要指出的是，計算中選擇適當(dāng)?shù)膶ΨQ性存在一定的技巧性，有時軸對稱和輪換對稱都有涉及。

參考文獻：

[1]高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007

[2]李正元李永樂考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書數(shù)學(xué)一[M].北京：中國政法大學(xué)出版社，2013endprint