簡單半全局幅值自適應極值搜索算法仿真研究

李海燕，王佩飛，李成立

(海軍航空工程學院 a.控制工程系; b.研究生管理大隊， 山東 煙臺 264001)

【信息科學與控制工程】

簡單半全局幅值自適應極值搜索算法仿真研究

李海燕a，王佩飛b，李成立b

(海軍航空工程學院 a.控制工程系; b.研究生管理大隊， 山東 煙臺 264001)

針對如何使系統的輸出量自適應地收斂并穩定于它的全局最優值并減弱系統輸出顫振的問題，提出基于幅值自適應調節的簡單半全局極值搜索算法，構造了平均化系統，對改進的的半全局極值搜索算法的收斂性、準確性和快速性進行了分析；仿真結果表明：基于幅值自適應調節的簡單半全局極值搜索算法可搜索至全局極值，并能夠有效減弱系統輸出顫振，改善算法穩定性和準確性。

幅值自適應；極值搜索算法；輸出顫振

在實際控制系統中，系統參考輸出量與參考輸入量之間通常可以構成某種未知的參考軌跡，而這種參考軌跡關系則意味著在參考輸入的作用下，系統的輸出軌跡中存在一個全局極值點(極大值或者極小值)[1-2]。目前，在極值搜索算法控制系統的控制對象中，被控對象的輸出函數一般只能有一個極值點。假如輸出函數具有多個極值點，根據極值搜索算法的研究現狀，并不能保證系統的輸出能夠收斂到它的全局極值點。針對實際操作中被控對象的輸出函數普遍存在多個極值點的情況，如何快速搜索到系統的輸出量并使其收斂于它的全局極值點，是極值搜索算法一個有待解決的問題。在一般的傳統極值搜索算法的反饋通路中，通常都裝置有高通濾波器[7]，但這并不確保目標函數能夠最終收斂至全局極值點。文獻[5]提出了簡單半全局極值搜索算法，該算法在目標函數滿足一定條件下，能夠使系統輸出量收斂至全局極值點，但為了保證算法的準確性，通常選取較小的反饋增益值，所以對算法的快速性有較大影響。

針對簡單半全局極值搜索算法因反饋增益參數的選取存在的準確性和快速性互相制約的問題，本文在簡單半全局極值搜索算法的基礎上，提出一種基于幅值自適應調節的半全局極值搜索算法，運用平均化[4]方法證明了該極值搜索算法的收斂性，放寬了對反饋增益要求選取較小值的限制，確保算法快速性的同時不影響算法的準確性。此外，該算法還具有能夠有效消除輸出顫振，收斂速度自適應能力強等特點。

1 基于幅值自適應調節的半全局極值搜索算法

如圖1所示，系統的數學模型為

(1)

(2)

(3)

(4)

圖1 基于幅值自適應調節的半全局極值搜索算法結構

假設1：目標函數h(·)存在唯一全局最大值x*∈R滿足

h′(x*)=0,h″(x*)<0

h(x*)>h(x), ?x∈R,x≠x*

當不考慮系統中的高通濾波器和低通濾波器時，可得

(5)

應用平均化方法[5]構造輔助梯度函數，可以得到

(6)

其中

f(x)=h(x+ad(t))d(t)

引入時間刻度σ=kδrt,將其代入式(6)可以得到

(7)

令式(7)左端為零，得到僅含x和λ的方程

0=μav(x,a)=a·p(x,a)

(8)

假設2：方程(8)存在實根x=l(a)滿足:

1)l是連續的，且p(l(a),a)<0, ?a≥0。

2) 存在a*>0對所有的a≥a*，x=l(a)是方程(8)的唯一實根。

3)l(0)=x*，其中x*是全局極值點所對應的狀態變量。

簡單半全局極值搜索算法能否收斂至全局極值與目標函數存在的極值點個數無關，僅與x隨a變化的軌跡相關，由假設1可知，考慮輸出函數y=h(z)是未知的，為使算法收斂至全局極值通常需要選擇較大的幅值初始值a(0)=a0。

引理1[5]：系統(1)至(3)滿足假設1和假設2，周期激勵信號滿足式(4)，如果對任意的正實數集合(Δ,υ)和a0>a*，存在KL類函數β=βλ0,Δ,υ，參數r*=r*(a0,Δ,υ)>0，參數r∈(0,r*)，使(x(t0),a(t0))滿足a(t0)=a0且x(t0)-l(a0)≤Δ，則當t≥t0≥0時系統(5)滿足：

x(t)-l(a(t))≤β(x(t0)-l(a(t0)),δ(t-t0))+υ

2 收斂性分析

針對基于幅值自適應調節的半全局極值搜索算法的收斂性進行分析。假設目標函數滿足假設1。由圖1可知，系統輸出為y=h(z)=h(x+ad(t))，用Taylor公式展開

y=h(z)=h(x+ad(t))=

(9)

對式(1)應用平均化方法展開[5]，可以認為狀態變量x的變化頻率比調制激勵信號ad(t)和解調激勵信號δd(t)慢得多，因此可以認為信號x在某時刻不隨時間變化，所以可將信號中僅含x的部分即y=h(x)視為低頻信號；而含有周期信號d(t)的部分視為高頻信號，則高頻部分表示為

(10)

即y=h(z)=h(x+ad(t))用Taylor公式展開

y=h(x+ad(t))=h(x)+g(t,x,a)

(11)

其中，h(x)是由式(9)定義的低頻信號，g(t,x,a)是由式(10)定義的高頻信號。

針對圖1所示的算法，暫不考慮高通濾波器和低通濾波器，則系統的數學模型為

(12)

將式(11)代入式(12)后，把得到的式子進行平均化得到下式：

因為已經假設周期激勵信號d(t)的頻率為ω=1，并且滿足條件(4)，考慮h(x)中僅含有x項，則由式(4)得到：

即在系統未帶高通濾波器和低通濾波器的情況下，對狀態方程進行平均化計算得到：

(13)

如圖1所示的基于幅值自適應調節的半全局極值搜索算法中，反饋通路中的信號y=h(x+ad(t))經過理想高通濾波器后濾過低頻部分h(x)，得到僅含高頻信號的部分：

y-β=g(t,x,a)

(14)

將式(10)代入式(1)后，對式(1)進行平均化：

(15)

其中

(16)

g(t,x,a)引用于式(10)，由式(13)、(14)和式(15)，引入高通濾波器后并沒有改變系統平均化后的狀態方程形式。

在理想情況下，信號經過高通濾波器后的輸出信號y-β要再與激勵信號δd(t)相乘，得到反饋信號為

在理想情況下，可以得到系統輸出函數對于狀態變量x的梯度。根據自適應控制中的梯度法，為了使系統取得輸出極值，沿輸出函數的負梯度方向變更參數是合理的，經過積分環節，驅使參數x向損失函數達到極值時對應的x*運動，最終當x=x*時，系統輸出y也取得極值。

(17)

通過式(17)構造關于系統狀態變量x和幅值自適應律a的方程，得到

0=gav(x,a)=a·p(x,a)

(18)

假設方程(18)存在唯一實根x=l(a)滿足假設2。針對圖1所示的基于幅值自適應調節的半全局極值搜索算法，由引理1可得，通過適當地調節系統參數，可以使系統狀態變量x從任意大的初始值收斂至l(a*)任意小的鄰域內，即存在

存在χa∈KL和χa(s,0)=s對所有的a(t0)=a0∈R滿足：

a(t)≤χa(a(t0),rδ(t-t0))， ?t≥t0≥0

其中，l(·)是連續的，且l(0)=x*。得到：

其中，x*是目標函數h(·)取得全局極值時對應的系統狀態變量。

綜上所述，通過以上收斂性分析可以得到如下結論：

定理1：如果式(1)～式(3)滿足假設1和假設2，激勵信號滿足式(4)，參數k和r滿足引理1時，則如圖1所示的基于幅值自適應調節的半全局極值搜索算法可收斂至目標函數的全局極值，且其在全局極值點處是半全局漸近穩定的。

由式(13)、式(15)、式(16)和式(18)可知，影響半全局極值搜索算法收斂性的主要是如式(18)所確定的關于x和a的方程，只要該方程的根的軌跡滿足假設2，無論反饋通路中有無高通濾波器和低通濾波器，算法都可收斂至目標函數的全局極值。

3 仿真分析

現選取幅值和頻率都為1的正弦信號作為激勵信號進行仿真。采用圖1中的算法結構，選取目標函數為

(19)

目標函數h(z)軌跡如圖2所示，x隨a變化軌跡如圖3所示。

圖2 目標函數軌跡

圖3 x隨a變化軌跡

由圖2可知，h(z)在z=-5處存在局部極大值91.7，在z=-2處存在極小值-25.3，在z=3處存在全局極大值433。對式(19)進行平均化計算，可以得到：

由圖3右側單調遞減軌跡可知，a由5遞減接近至0時，x隨a變化最終達到目標函數收斂至全局極值時對應的系統狀態x=3，且x隨a變化軌跡滿足假設2。

為驗證改進算法對系統收斂性和準確性的影響，選取k=0.1，r=12，x初始值設定為x0=-6，ωh=1，ωl=0.1，其中z=x+ad(ωt)，并與基于高通濾波器的半全局極值搜索算法(圖4)進行比較，選取δ=0.003，ε=1，λ0=3，ρ(λ)=λ則λ=3e-0.001t，x初始值設定為x0=-6，ωh=1.5，其中z=x+λd(ωt)。帶高通濾波器的系統輸出和系統狀態如圖5和圖6所示，改進的幅值自適應算法的系統輸出和系統狀態如圖7和圖8所示。

圖4 基于高通濾波器的半全局極值搜索算法結構

圖5 帶高通濾波器的系統輸出

圖6 帶高通濾波器的系統狀態

圖7 改進算法的系統輸出

圖8 改進算法的系統狀態

由圖5至圖8可知，基于幅值自適應的的半全局極值搜索算法能夠收斂至目標函數的全局極值，較之未改進算法的情況減弱了輸出顫振。

4 結論

本文針對如何使系統的輸出量自適應地收斂并穩定于它的全局最優值并減弱系統輸出顫振的問題，提出了基于幅值自適應調節的簡單半全局極值搜索算法。構造了平均化系統，分析了系統的收斂性，仿真驗證了設計方法可行有效。同時基于幅值自適應的半全局極值搜索算法可以選取較大的反饋增益值，確保算法快速性的同時不影響算法的準確性，改善了系統動態性能。

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SimulationResearchonSemi-GlobalExtremumSeekingAlgorithmwithAmplitudeTunedAdaptively

LI Haiyana， WANG Peifeib， LI Chenglib

(a.Department of Control Engineering; b.Graduate Students’ Brigade, Naval Aeronautical and Astronautical Institute, Yantai 264001， China)

To solve the problem of how to drive the output of the controlled system to be adaptively stable and converge to its global optimum as well as attenuate the output chatter without the knowledge of the reference trajectory relation of the controlled system, a kind of multi-parameter extremum seeking algorithm with amplitude tuned adaptively is proposed,which improves the system performance. The paper constructs the averaged system and proves the convergence, accuracy and rapidity of algorithm. And the simulation of the example system is implemented. The simulation results demonstrate that the extremum seeking algorithm with mplitude tuned adaptively can drive the output of the controlled system to be adaptively stable and converge to its global optimum, attenuate state chatter, and improve stability and accuracy of algorithm.

amplitude tuned adaptively; extremum seeking algorithm; output chatter

2017-06-25；

2017-07-21

李海燕(1979—)，女，副教授，主要從事光電技術研究。

10.11809/scbgxb2017.10.024

本文引用格式：李海燕，王佩飛，李成立.簡單半全局幅值自適應極值搜索算法仿真研究[J].兵器裝備工程學報，2017(10):117-121.

formatLI Haiyan，WANG Peifei，LI Chengli.Simulation Research on Semi-Global Extremum Seeking Algorithm with Amplitude Tuned Adaptively[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(10):117-121.

TP273+.23

A

2096-2304(2017)10-0117-05

(責任編輯楊繼森)