一種對角陣線性表示的壓縮感知測量矩陣

于金冬，劉云飛，董道廣，田文飚，于志軍

(1.海軍航空工程學院 電子信息工程系， 山東 煙臺 264001； 2.海軍航空工程學院青島校區， 山東 青島 266000； 3.海軍航空工程學院某訓練基地， 山東 青島 266000)

【信息科學與控制工程】

一種對角陣線性表示的壓縮感知測量矩陣

于金冬1，劉云飛2，董道廣1，田文飚1，于志軍3

(1.海軍航空工程學院 電子信息工程系， 山東 煙臺 264001； 2.海軍航空工程學院青島校區， 山東 青島 266000； 3.海軍航空工程學院某訓練基地， 山東 青島 266000)

針對常用測量矩陣無法很好的兼顧壓縮感知的重構效率和精度的問題，利用正交基線性表示原理，以主對角線均為非零元素的對角陣為正交基，以隨機數+確定數形式的偽隨機數為線性表示系數，提出了一種新的測量矩陣構造方法；仿真表明：新矩陣的性能明顯優于常用測量矩陣，尤其是當壓縮比小于0.5時，測量次數減少約40%，峰值信噪比至少提升約2.2 dB。

壓縮感知；測量矩陣；正交基線性表示；對角陣；偽隨機數

1 概述

2004年，Candès、Donoho和Tao等[1-2]針對稀疏信號或可壓縮信號，在信號逼近和稀疏分解等理論的基礎上，提出了壓縮感知(Compressed Sensing,CS)理論。該理論的突出優點是：同步完成了對信號的采樣和壓縮，可在遠低于奈奎斯特采樣率的條件下高概率精確重構原始信號。CS過程主要包括信號稀疏表示、測量矩陣構造、重構算法3個核心環節。其中，測量矩陣參與了信號降采樣和信號重構這兩個重要的數據處理過程，對重構效果有著很大的影響。

近年來，許多學者提出了新的測量矩陣。張成等[3]提出隨機間距稀疏托普利茲矩陣；唐駿等[4]提出隨機混沌感知矩陣；粟娟等[5]提出基于切比雪夫擴頻序列測量矩陣；彭玉樓等[6]提出基于對測量矩陣奇異值分解的噪聲信號重構算法。雖然上述方法增強了重構效果，但是重構性能易受到觀測次數和原始信號稀疏度的影響，且應用范圍相對有限。

受到正交基線性表示原理的啟發，本文以主對角線均為非零元素的對角陣作為正交基，采用隨機數+確定數組合形式的偽隨機數作為線性表示系數，構造了一種新的測量矩陣。相比常用的測量矩陣，該矩陣在重構效率和精度上有明顯提升，減少了采樣和恢復過程的運算量，避免了存儲資源的浪費，構造過程相對靈活，具有很高的實用價值。

2 壓縮感知理論框架

假設X是RN空間中的一個N×1維信號，如果X中只有K個非零元素，且K?N，則稱X是K-稀疏信號。現實中，絕大多數信號本身并不稀疏，此時需作稀疏變換，將X投影到RN空間中的一組稀疏基ψ上，即：

或者X=ψα

(1)

其中，ψ=[ψ1,ψ2,…,ψN]是N×N維稀疏矩陣；α=[α1,α2,…,αN]T是N×1維稀疏變換信號。若變換后的α中只有K(K?N)個非零元素，則稱X是變換域中的K-稀疏信號。

測量過程中，CS對稀疏信號同時進行采樣和壓縮。采樣是指將信號X投影到一個與稀疏矩陣ψ不相關的測量矩陣φ上，壓縮是指信號完成了由高維到低維的映射，即：

Y=φX

(2)

其中，φ是M×N維測量矩陣，Y是M×1維觀測信號。將式(1)代入(2)得：

Y=φX=φψα=Θα

(3)

其中，Θ=φψ是M×N維的傳感矩陣。

信號的重構是利用M維觀測信號Y無失真恢復N維原始信號X的過程。由于M?N，求解式(2)的逆問題是NP難題，所以無法直接得到原始信號X。但是如果X是K-稀疏的，只要M≥K，就可通過求解式(3)的逆問題得到稀疏變換信號α，再代入式(1)就能重構出原始信號X。

3 測量矩陣分析

Candès等[7]指出，只要傳感矩陣Θ滿足有限等距約束特性(Restricted Isometry Principle,RIP)，就能準確重構原始信號X。RIP特性表述為

(1-εK)X2≤ΘX2≤(1+εK)X2

(4)

其中，εK∈(0,1)，稱為RIP常數。

判斷傳感矩陣Θ是否滿足RIP特性是一個組合復雜度問題，因此找到容易實現的RIP特性替代條件，是構造測量矩陣的關鍵。Donoho給出了測量矩陣的3個特征[1]：由測量矩陣的列向量組成的子矩陣的最小奇異值應大于某一常數，即列向量滿足一定的線性獨立性；測量矩陣的列向量應體現出某種類似噪聲的獨立隨機性；滿足稀疏度的解是滿足l1范數最小的向量。

常用的測量矩陣主要可以分為3類：

1) 隨機測量矩陣：如高斯矩陣[8]、貝努利矩陣[8]等。該類矩陣中的每個元素都服從相互獨立的同分布，保證了各列向量之間最大的非相關性，重構精度較高。但是存儲空間和時間復雜度較大，不利于硬件實現。

2) 確定性測量矩陣：如多項式矩陣[9]等。該類矩陣存儲空間小，易于設計快速算法和硬件實現，但是重構效果一般。

3) 部分隨機測量矩陣：如部分正交矩陣[10]、部分哈達瑪矩陣[8]、托普利茲和輪換矩陣[11]等。該類矩陣兼具一定的隨機性和確定性，重構效果較好，但是當測量次數M較小時，仍要先構造N×N的高維矩陣，再選取M行，浪費了存儲資源。

4 基于對角陣線性表示的測量矩陣構造方法

4.1理論依據

在Euclid空間V中，由M個正交向量組成的基稱為空間V的一組正交基[12]，即：

E=[e1,e2,…,eM]M×M, [ei]M×1

(5)

空間V中的任意其它向量β都可以通過這一組正交基E線性表示：

β=k1e1+k2e2+…+kMeM

(6)

其中，k1,k2,…,kM是不全為0的實數。

以正交基線性表示原理為理論依據，采用主對角線上均為非零元素的對角陣作為正交基，線性表示剩余的N-M個列向量，構造新矩陣。

對于對角陣D=(d1,d2,…,dM)，其行向量與列向量之間都是相互正交的[12]，即：

(7)

此外，當主對角線上全是非零元素時，即rank(D)=M，對角陣的行向量與列向量之間都是線性無關[13]。因此可將其作為測量矩陣φ的前M個列向量，即：

[φ1,φ2,…,φM]=[d1,d2,…,dM]

(8)

剩余的N-M個列向量可以通過前M個列向量線性表示得到：

φM+1=kM+1,1φ1+kM+1,2φ2+…+kM+1,MφM

φM+2=kM+2,1φ1+kM+2,2φ2+…+kM+2,MφM

?

φN=kN,1φ1+kN,2φ2+…+kN,MφM

(9)

將對角陣和線性表示出來的向量合并，得到最終的測量矩陣φ：

φ=(d1,d2,…,dM,φM+1,φM+2,…,φN)

(10)

可以看出：前M個列向量直接引用了對角陣，具有較好的非線性相關性；后N-M個列向量由前M個列向量線性表示，因此其非線性相關性未能充分保證。從兩個角度分析：

1)φM+1,φM+2,…,φN與φ1,φ2,…,φM之間。由于測量矩陣φ中最多僅有M個最大線性無關向量組，因此后N-M個列向量必然與前M個列向量之間存在一定的線性相關。為使二者的線性相關性最小，φM+1,φM+2,…,φN中任意一個向量應與φ1,φ2,…,φM中任意M-1個向量線性無關，即線性表示系數應全是非零實數。

2)φM+1,φM+2,…,φN內部之間。由式(1)可知，即使線性表示系數全是非零實數，也只能保證φM+1,φM+2,…,φN與φ1,φ2,…,φM中的任意M-1個向量線性無關，其內部仍然可能存在一定的線性相關關系。因此可選用線性相關性較小的隨機數作為線性表示系數，保證φM+1,φM+2,…,φN各列之間盡可能大的非相關性。

可見，為使構造的測量矩陣滿足RIP特性，線性表示系數必須具有非零性和隨機性。這里采用隨機數+確定數組合形式的偽隨機數作為線性表示系數[14]。隨機數選用服從標準正態分布N(0,1)的高斯隨機數，由于該類隨機數在(-3,+3) 之間取值的概率高達99.7%，因此選擇+4作為確定數，以保證整體非零性。此方法原理簡單，易于實現，生成的線性表示系數非零且隨機性較強，特別適合壓縮比小于0.5的情況。

4.2 矩陣構造過程

矩陣具體的構造過程如下：

Stage1：隨機生成一個均勻分布在(0，1)上的1×M維行向量U；Stage2：由行向量U構成M×M維對角陣D=diag(U)，作為正交基；Stage3：利用高斯隨機數和確定數(這里取+4)生成M×(N-M)維線性表示系數K=(k1，k2，…，kN-M)；Stage4：將對角陣D與線性表示系數K相乘，得到測量矩陣中剩余的N-M個列向量?M+1，?M+2，…，?N；Stage5：將對角陣D和?M+1，?M+2，…，?N合并，得到新矩陣?=(?1，?2，…，?N)；Stage6：為了使測量矩陣?更好的滿足RIP特性，對其進行歸一化處理，得到最終的測量矩陣。

4.3 可行性分析

引入主對角線上均為非零元素的對角陣作為正交基，其行向量和列向量都線性無關。此外，在利用該對角陣線性表示其它列向量的時候，采用隨機數+確定數組合形式的偽隨機數作為線性表示系數，兼顧非零性和獨立隨機性，使新矩陣各列向量之間的非相關性和獨立隨機性得到最大程度的保證。

該方法在正交基線性表示原理的基礎上，以主對角線均為非零元素的對角陣為正交基，以隨機數+確定數形式的偽隨機數為線性表示系數，最大程度的保證了各列向量之間的非相關性和獨立隨機性，滿足RIP特性。該方法沒有像部分隨機矩陣一樣大量舍棄矩陣行或列，避免了資源浪費。

5 仿真實驗和結果

為了驗證新矩陣的有效性和可靠性，選取標準圖像庫中典型的幾幅圖像進行仿真實驗。具體過程如下：首先利用經典的SYM8小波對圖像進行稀疏化處理，再分別用各類矩陣對稀疏化的圖像進行測量，最后將先驗稀疏度預設為測量次數的1/4，采用正交匹配追蹤算法[15](Orthogonal Matching Pursuit,OMP)對圖像重構。為降低隨機性因素的影響，本文所得到的數據都是在100次實驗后求得的平均值。

首先在不同測量矩陣的條件下，比較峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio,PSNR)隨壓縮比的變化情況。實驗中，設定壓縮比由0.1變化至0.5，結果如圖1所示。

圖1 各類測量矩陣峰值信噪比

由實驗結果可以看出，新矩陣的性能優于其他測量矩陣，PSNR整體上比廣義輪換矩陣和部分哈達瑪矩陣高約2.2 dB，比部分正交矩陣、貝努利矩陣和高斯隨機矩陣高約8.0 dB。特別當壓縮比較小時，新矩陣的優勢更加明顯，驗證了本文以偽隨機數作為線性表示系數更加適合小壓縮比的判斷。實驗證明：當壓縮比為0.5時，6種測量矩陣均能完成圖像重構，此時高斯隨機矩陣的PSNR最低，約為26.935 4 dB，而新矩陣在壓縮比為0.3時，PSNR已達到了27.104 6 dB，完全可以實現重構，說明新矩陣重構所需的測量次數最少，減少了約40%，大大降低了采樣和恢復過程的運算量，重構效率高，可靠性突出。

為直觀感受新矩陣的重構效果，在壓縮比為0.5時，選取PSNR較高的部分哈達瑪矩陣、廣義輪換矩陣和新矩陣，分別對Lena、Boat和Baboon圖像進行重構實驗，結果如圖2、圖3、圖4所示。其中，圖2、圖3、圖4中(a)為原始圖像，(b)～(d)分別為新矩陣、部分哈達瑪矩陣、廣義輪換矩陣重構的圖像。

圖2 壓縮比為0.5，Lena圖像重構效果對比

圖3 壓縮比為0.5，Boat圖像重構效果對比

圖4 壓縮比為0.5，Baboon圖像重構效果對比

通過對比可以看出，當壓縮比一定時，新矩陣的恢復效果明顯好于部分哈達瑪矩陣和廣義輪換矩陣，其圖像從視覺效果上看與原始圖像差別不大，充分驗證了新矩陣良好的重構性能。

在壓縮比為0.5時，依據式(11)～式(14)，分析PSNR、匹配度μ、相對誤差σ和重構時間t等4個參量的數值，比較各類測量矩陣的重構性能。

(11)

(12)

(13)

t=t2-t1

(14)

表1 壓縮比為0.5時，各類測量矩陣 重構性能比較

由表1可以看出：當壓縮比相同時，相比于其它測量矩陣，新矩陣在PSNR和匹配度上提升較大，重構效果明顯增強。新矩陣的相對誤差最低，只有7.06%，說明利用新矩陣重構圖像穩定性較好，重構成功率高。重構時間雖然不是最短，為4.093 8 s，但是與貝努利矩陣和部分哈達瑪矩陣相差不到0.5 s，重構效率基本滿足工程要求。

最后，為不失一般性，在壓縮比為0.5的條件下，利用新矩陣分別對圖庫中的Lena等6幅典型圖像進行重構實驗，并從PSNR、匹配度μ、相對誤差σ和重構時間t等方面比較重構效果，驗證新矩陣的普適性。實驗結果如表2所示。

由表2可以看出，在壓縮比一定的條件下，新矩陣對圖像重構時，在PSNR、匹配度μ、相對誤差σ和重構時間t方面幾無差別，充分說明了新矩陣在恢復圖像方面的廣泛性。

6 結論

本文結合正交基線性表示原理，以行列間具備優良正交性和線性非相關性的對角陣作為正交基，以隨機數+確定數形式的偽隨機數作為線性表示系數，提出了一種利用對角陣線性表示的測量矩陣構造方法。新矩陣滿足RIP特性，最大程度保證了各列向量之間的非相關性和獨立隨機性，特別適合在壓縮比小于0.5時進行重構。通過仿真實驗，與6種常用測量矩陣進行了性能對比和分析，驗證了該矩陣的有效性、可靠性。

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CompressedSensingMeasurementMatrixBasedonLinearRepresentationofDiagonalMatrix

YU Jindong1， LIU Yunfei2， DONG Daoguang1， TIAN Wenbiao1， YU Zhijun3

(1.Department of Electronic Information Engineering， Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai 264001， China; 2.Naval Aeronautical and Astronautical University Qingdao Branch，Qingdao 266000， China; 3.Trainning Base，Naval Aeronautical and Astronautical University, Qingdao 266000， China)

For the common measurement matrix can not take a good balance between the efficiency and the accuracy of the compressed sensing, by utilizing the linear representation theory of orthogonal basis, this essay proposes a new method, which introduces diagonal matrix with non-zero elements on main diagonal and the pseudo-random number. The simulation result shows that the new matrix is superior to others. Especially when the compression ratio is less than 0.5, the number of measurements is reduced by about 40% and the peak signal to noise ratio is increased by at least 2.2 dB.

compressed sensing; measurement matrix; linear representation theory of orthogonal basis; diagonal matrix; pseudo-random number

2017-06-26；

2017-07-22

國家自然科學基金項目(41606117；41476089；61671016)

于金冬(1993—)，男，碩士研究生，主要從事壓縮感知、蒸發波導態勢獲取研究。

10.11809/scbgxb2017.10.028

本文引用格式：于金冬，劉云飛，董道廣，等.一種對角陣線性表示的壓縮感知測量矩陣[J].兵器裝備工程學報，2017(10):137-141.

formatYU Jindong，LIU Yunfei，DONG Daoguang,et al.Compressed Sensing Measurement Matrix Based on Linear Representation of Diagonal Matrix[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(10):137-141.

TP391.9

A

2096-2304(2017)10-0137-05

(責任編輯楊繼森)