數學在密碼學中的應用淺析

黃耀

摘要： 密碼學作為一門交叉學科，涉及學科廣泛，其中應用數學占很大比例，其地位在密碼學中也越來越重要，本文簡單介紹密碼學中涉及數學理論和方法計算的各種算法基本理論及應用，并將密碼學的發展史分為現代密碼學和傳統密碼學，列舉二者具有代表性的明文加密方法，并分別對其中一種方法進行加密思想的概括和闡述。

關鍵詞： 密碼學 應用數學 應用

中圖分類號：TN918 文獻標識碼：A 文章編號：1009-5349（2017）22-0196-01

隨著信息時代的高速發展，信息的安全越來越重要，小到個人信息，大到國家安全。信息安全主要是將計算機系統和信息交流網絡中的各種信息進行數學化的計算和處理，保護信息安全，而密碼學在其中正是處于完成這些功能的技術核心。在初期的學習當中，高等數學、線性代數、概率論等都是必須要學習的基礎學科，但是涉及密碼學的實際操作，數論和近世代數的數學知識仍然會有不同程度的涉及和應用，本文在這一基礎上，討論密碼學中一些基本理論的應用。

一、密碼學的含義及特點

密碼學是由于保密通信所需從而發展起來的一門科學，其保密通訊的接受過程如下：初始發送者將原始信息（明文）進行一定方式轉換（加密）然后發送，接受者收到加密信息，進行還原解讀（脫密），完成保密傳輸信息的所有過程，但是由于傳輸過程是經由有線電或無線電進行信息傳輸，易被竊取者在信息傳輸過程中竊取加密信息，在算法未知的情況下恢復信息原文，稱為破譯。保密信息破譯的好壞程度取決于破譯者的技術及經驗和加密算法的好壞。

實際運用的保密通信由兩個重要方面構成：第一是已知明文，對原始信息進行加密處理，達到安全傳輸性的效果；第二是對截獲的加密信息進行信息破譯，獲取有用信息。二者分別稱為密碼編碼學和密碼分析學，二者互逆，互相反映，特性又有所差別。

密碼體制在密碼發展史上是指加密算法和實現傳輸的設備，主要有五種典型密碼體制，分別為：文學替換密碼體制、機械密碼體制、序列密碼體制、分組密碼體制、公開密鑰密碼體制，其中密碼學研究目前較為活躍的是上世紀70年代中期出現的公開密鑰密碼體制。

二、傳統密碼應用

密碼體制在1949年香農的《保密系統的通信理論》發表之前，密碼傳輸主要通過簡單置換和代換字符實現，這樣簡單的加密形式一般屬于傳統密碼的范疇。置換密碼通過改變明文排列順序達到加密效果，而代換密碼則涉及模運算、模逆元、歐拉函數在仿射密碼當中的基本理論運用。

傳統密碼應用以仿射密碼和Hill密碼為代表，本文由于篇幅所限，就以運用線性代數思想對明文進行加密處理的Hill密碼為例，簡述其加密思想。

Hill 密碼，即希爾密碼，在1929年由數學家Lester Hill在雜志《American Mathematical Monthly》上發表文章首次提出，其基本的應用思想是運用線性代換將連續出現的n個明文字母替換為同等數目的密文字母，替換密鑰是變換矩陣，只需要對加密信息做一次同樣的逆變換即可。

三、現代密碼應用

香農在1949年發表的《保密系統的通信理論》上將密碼學的發展分為傳統密碼學與現代密碼學，這篇論文也標志著現代密碼學的興起。香農在這篇論文中首次將信息論引入密碼學的研究當中，其中，概率統計和熵的概念對于信息源、密鑰源、 傳輸的密文和密碼系統的安全性作出數學描述和定量分析，進而提出相關的密碼體制的應用模型。他的論述成果為現代密碼學的發展及進行信息破譯的密碼分析學奠定理論基礎，現代的對稱密碼學以及公鑰密碼體制思想對于香農的這一理論和數論均有不同程度的涉及。

現代密碼應用的代表是以字節處理為主的AES算法、以歐拉函數為應用基礎的RSA 公鑰算法以及運用非確定性方案選擇隨機數進行數字簽名并驗證其有效性的ElGamal 簽名體制，本文以AES算法為例，簡述現代密碼應用的基本思想。

AES算法的處理單位是計算機單位字節，用128位輸入明文，然后輸入密鑰K將明文分為16字節，整體操作進行十輪之后，第一輪到第九輪的輪函數一樣，包括字節代換、行位移、列混合和輪密鑰加四個操作，最后一輪迭代不執行列混合。而且值得一提的是在字節代換中所運用到的S盒置換是運用近世代數的相關知識完成加密計算的。

四、結語

本文通過明確密碼學在不同發展階段的加密及運作情況，然后主要介紹密碼學中數學方法及理論，包括數論、概率論的應用理論。隨著現代密碼學的活躍發展，數學基礎作為信息加密工具與密碼學聯系越來越密切，密碼學實際操作的各個步驟都與數學理論聯系甚密，數學密碼已經成為現代密碼學的主流學科。當然，本文論述的數學理論與密碼學的應用還只是二者關系皮毛，也希望看到有關專家對這一問題作出更深層次的論述，以促進應用數學理論與密碼學發展之間更深層次的溝通與發展。

參考文獻：

[1]曾福庚.公鑰密碼學的研究與發展[J].科技信息，2010（18）.

[2]湯燕.矩陣在密碼學中的應用[J].科教文匯（下旬刊）， 2010（8）.

責任編輯： 于 蕾