在探究性學習中發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)

黃立明

中學課堂教學要以學生為中心，以學生為中心應以學生積極參與教學活動為標志，學生參與教學活動以提高數(shù)學素養(yǎng)為目標。探究性學習是學生參與教學活動的有效途徑，教學設(shè)計要盡可能創(chuàng)設(shè)探究情景，激發(fā)學生探究欲望，鼓勵學生大膽探究。通過多途徑、多形式的探究活動，不斷發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六大數(shù)學核心素養(yǎng)。

最值問題是高中數(shù)學的一類重要問題，二元與多元最值問題也是高考、自主招生試題中的重點與熱點問題。多元變量的最值問題因其技巧強、難度大、方法多、靈活多變而且具有挑戰(zhàn)性， 是最值問題中的難點。求解多元變量最值，要求學生有堅實的數(shù)學基礎(chǔ)，嚴謹、全面分析問題和靈活、綜合解決問題的能力，是開展研究性活動的重要契機，是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要平臺。本文以多元變量最值問題為例，談一些在探究性學習中發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的嘗試。

問題：若c>0，當非零實數(shù)a、b滿足4a2-2ab+4b2-c=0且使最大時，

的最小值。

探究一：利用換元法將多元問題轉(zhuǎn)化為一元變量問題，在探究中發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)。

所謂換元法，是指在一個比較復雜的數(shù)學表達式中，用新的變量去代替原來的部分（或全部）變量或改造原來的式子，利用新元建立未知與已知間的通道。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，目的是化繁為簡、化生為熟，使問題易于解決，其關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元。常見換元法有代數(shù)換元、三角換元、均值換元等。換元時，要盡可能地用新元把分散的條件聯(lián)系起來，把隱含的條件顯露出來。筆者在教學中，嘗試設(shè)計了兩個活動來激發(fā)學生參與探究。

活動一（代數(shù)換元）：設(shè)2a+b=t，2a=t-b，聯(lián)立4a2-2ab+4b2-c=0

∴6b2-3tb+t2-c=0①

取最大值時，代入①中解得

從而

（時取“=”）

活動二（三角換元）：令

則。

故

記，則，∴，

故，當且僅當，即時，

亦即，則2a=3b，故。

從而，因此。

問題以一個三元（a、b、c）二次方程在取最值的條件下求一個分式的最值，活動一、二通過代數(shù)換元、三角換元分別起到簡化表達式、降維目的，明確目標而解決問題。學生在問題探究中，逐步強化數(shù)學抽象和數(shù)學運算能力等核心素養(yǎng)。

探究二：突出不等式在解決最值問題中的重要作用，在探究中發(fā)展學生邏輯推理和數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)。

最值問題與不等式聯(lián)系密切，由此進一步引導學生用不等式開展探究活動。

均值不等式是解決多元函數(shù)求最值的一種常用方法。使用均值不等式法時需關(guān)鍵要合理拆分項或恰當配湊因式，創(chuàng)設(shè)使用均值不等式的條件“一正、二定、三相等”后，使用不等式解決問題。

活動三（均值不等式）：由

，

注意到， 則

①

②

①+②，

當且僅當時取“=”，此時，。

從而，因此。

該解法通過“恰當配湊”使得不等式的右邊在使用絕對值不等式之后恰為題設(shè)最值條件，從而利用等號成立條件得到a、b、

c間的關(guān)系，進而求的最小值。

柯西不等式是一個非常重要的不等式，其結(jié)構(gòu)的和諧性、應用的廣泛性、靈活性，可以使一些較為困難的問題迎刃而解。此時宜采取引導學生積極探究，巧拆常數(shù)、巧變結(jié)構(gòu)、巧設(shè)數(shù)組等技巧，構(gòu)造符合柯西不等式的其結(jié)構(gòu)與成立的條件。

活動四（柯西不等式）：由變形得。（當且僅當即時取“=”）。

從而，因此。

探究三：隨著探究活動中不斷深入，鼓勵學生思維發(fā)散、數(shù)形結(jié)合，發(fā)展學生直觀想象及數(shù)學運算等核心素養(yǎng)。

數(shù)形結(jié)合即借助“數(shù)”的幾何特征與“形”的量化特點，相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題。“以形助數(shù)”利用形的直觀形象性；“以數(shù)解形”主要利用數(shù)量關(guān)系的精確性、深刻性 ，數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)就是符號語言與圖形語言的轉(zhuǎn)化，將抽象思維和形象思維結(jié)合起來，可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，是優(yōu)化解題過程的重要途徑

之一。

活動五（點線距離）：由得。

設(shè)l：，到l的距離。

，

（M與O重合時取“=”，此時PO⊥l）

則，

從而，因此。

繼續(xù)探究：平面圖形的伸縮變換可以用坐標的伸縮變換來表示，在伸縮變換下，圖形的同素性、結(jié)合性與單位比都是不變的。利用伸縮變換的不變性，可以靈活、方便地解決此

問題。

活動六（伸縮變換）：

設(shè)

則，且

故直線與圓相切時，z取最大值。

此時有，。

聯(lián)立，可得，以下略。

多元變量的最值問題綜合性強，知識面廣，方法靈活，解法也相對靈活多變，在探究活動中，注意降維思想、整體思想與轉(zhuǎn)化思想的使用，化陌生為熟悉、非常規(guī)為常規(guī)加以解決。在探究過程中，鼓勵學生積極思考、勇于探索、大膽實踐、科學提煉、總結(jié)推廣，長期堅持下去，對發(fā)展學生數(shù)學數(shù)學核心素養(yǎng)十分

裨益。

參考文獻：

[1]王尚志.如何提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)[J].中國教師，2016（5上）.

[2]梅向明等編. 高等幾何[M].北京：高等教育出版社，1983年第1版.

（作者單位：安徽省池州市第一中學）

責任編輯：李莎

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