微積分在力學中的應用

摘 要：微積分在大學物理特別是力學中有著極其廣泛的應用。用微積分方法解決力學問題，是力學教學的重難點。本文通過闡述力學中不同的物理量及公式推導過程所體現的微積分思想，可以很好地分析和處理力學問題，幫助學生理解微積分的重要作用及思想本質，使得學生熟練應用微積分解決力學問題，有效提高學習質量。

關鍵詞：微積分；力學；應用；學習質量

力學是大學物理的重要教學內容，在物理課程設置中占據基礎地位。物理課程的開設，能夠使學生系統地學習力學的基礎理論知識，為后續課程學習奠定良好的基礎，同時有助于培養學生的科學思維和創作性思維，形成正確分析及解決物理問題的能力及提升物理學科的課堂教學效果，對將來從事的科學研究學習也有很好地促進作用。

一、微積分思想的重要性

力學所研究的物理量，有些不是穩恒量和離散量，而是變量和連續量，如變力做的總功，變速運動的瞬時速度等，所討論的問題更加復雜、實際。因此，在教學過程中，教師應積極指導學生建立微積分思想，將微積分思想與力學變量問題結合起來，進一步加深學生對微積分在力學中應用的理解。

二、微積分在力學教學中的應用

微積分思想就是“微元法”和“無限逼近”。通過對復雜的物理變量無限分割成多個微元，則局域范圍無限變小，近似處理也越精確，則理論上可認為這限小的量為常量，這個即為微分；對所有無限多個微分的研究結果累積求和，即為積分，由此可得所求的那個變量，這就是微積分的思想本質。

（一）速度及加速度問題

例1：某質點運動方程為[rt=xti+ytj=3ti+3-t3j]，計算質點在任一時刻的速度[v]和加速度[a]。

方法：由運動方程可知該質點做變速運動，利用微積分思想，速度時刻改變，求解瞬時速度，可把運動分成很多個時間很短的微運動，在每個很短的時間間隔內，可認為做勻速運動，即[?t→0]，平均速度的極限值為瞬時速度[v]：[v=lim?t→0?r?t=drdt=3i-3t2j]。

同理，可得加速度[a]：[a=lim?t→0?v?t=dvdt=-6tj]。

例2：如圖1所示，有人以勻速率[v0]收繩，使得湖中的船往岸邊運動，求小船的速度（結果用[v0和θ]表示）。

步驟：設小船的速度為[v]，設圖中繩的長度為[l]，岸邊的高度為[h]，船離岸邊的距離[x]，則：[l2=x2+h2]。

兩邊同時求導得：[ldldt=xdxdt]。

由此可得小船的速度：[v=-dxdt=-lxdldt=lxv0=v0cosθ]。

由此可知，在力學速度、加速度變量的求解中，通過對位移元、速度元、時間元等微元進行了利用，從而求的相關變量；反之，若已知速度和加速度（非穩恒量）求解位移，則利用積分思想，微元求和，進行疊加積分。

（二）動量和沖量問題

根據牛頓第二定律，[F合]等于動量[p]隨時間t的變化率，因此對任一時刻t，將時間取微元，可得：[F=lim?t→0?p?t=dpdt=mdvdt=ma]。

I的物理意義是力對時間的積累，即力對時間的積分，對[?t→0]，[F]可視為恒力，在這段時間微元內，[dI=Ftdt]。

將所有沖量元[dI]求和即得[F]在一段時間內作用在物體的總沖量：[I=dI=t1t2Fdt=p2-p1]。

充分利用了微積分思想推導物理定理，任何變力對時間的積累都能通過微積分形式很好地反映出來，由此可求得任一變力在一段時間內的沖量及動量變化量。

（三）變力曲線做功

例3：一質點在[F]作用下沿著如圖所示的路徑從A運動到B，求[F]所做的功。

步驟：取微元：此過程質點受的力為變力，求這段過程變力做功，需利用微積分思想，將位移分成許多位移元[dr]，在每一段位移元[dr]內，力可近似看成恒力，因此可看成質點在恒力作用下沿直線運動做功。故每段位移元內力做的元功dW=[F?dr]。

積分：變力做的總功等于每段位移元內力做的元功的代數和：[W=dW=ABF?dr]，由此可知，變力做功求解方法是利用微積分思想，把變量問題化為微元常量，再積分求得總功。

（四）質量微元

1.對于質量連續分布的物體，可以把物體分成許多質量元[dm]，可得質心坐標：[xc=xdmm，yc=ydmm，zc=zdmm]。

這樣，復雜的坐標計算就變得簡單且易于理解。

2.對于質點連續分布的剛體轉動慣量：[J=r2dm]，對于均勻圓盤，若已知質量為[m]，半徑為R，求通過盤心且垂直盤面的軸的轉動慣量。

分析思路：圓盤為連續分布的質點系，可對連續體選微小質量[dm]的轉動慣量，然后積分求和，求得總轉動慣量[J]。

步驟：設圓盤密度為[σ]，將圓盤分割成許多薄圓環，任一半徑為[r]，寬度為[dr]的超薄圓環可作為一微元，則其繞盤中心軸的轉動慣量[dJ=r2dm=r2σds=r2mπR22πrdr=2mR2r3dr]，對圓盤總的轉動慣量[J=dJ=0R2mR2r3dr=12mR2]。

由于對圓盤整體而言，離軸的距離并非定值，因此不能直接套用公式，而需應用微積分思想處理，通過選取不同的微元，然后求積分得到結果。

三、結語

本文旨在使學生正確理解微積分思想，并通過一些實例分析，說明微積分利用分割法對變量進行分割可解決力學中的許多問題，使復雜的問題簡單化。因此，熟練掌握運用微積分，可以降低物理問題的難度，使學生提升學習興趣，理解微積分解題的基本思路，改善學習效果。

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作者簡介：

尹芬芬（1987.02—），性別：女；民族：漢族；籍貫：湖南邵陽；最高學歷：碩士研究生；職稱：講師；單位：銅仁學院；研究方向：理論物理。endprint