基于改進LMI的魯棒H∞動態輸出反饋控制綜合*

郝 峰,葉思雋,車曉濤

(1 西北工業大學航天學院,西安 710072; 2 中國兵器工業第203研究所,西安 710065)

基于改進LMI的魯棒H∞動態輸出反饋控制綜合*

郝 峰1,2,葉思雋2,車曉濤2

(1 西北工業大學航天學院,西安 710072; 2 中國兵器工業第203研究所,西安 710065)

研究動態輸出反饋(DOF)下連續時間系統的魯棒H∞控制綜合問題。借助于線性矩陣不等式(LMI)技術,給出了閉環系統魯棒H∞DOF控制器存在的充要條件。該條件依賴于引入的松弛變量,消除了Lyapunov變量與系統矩陣之間的耦合,能夠減小控制器設計的保守性。利用變量替換方法,將上述條件中的非線性矩陣不等式轉化為關于替換變量的LMI,并給出了相應的DOF控制器求解方法。數值算例結果驗證了新方法的有效性。

控制理論;魯棒控制;動態輸出反饋;線性矩陣不等式;H∞控制

0 引言

20世紀90年代以來,隨著內點法的應用和MATLAB LMI工具箱的推出,LMI方法被廣泛應用于控制領域[1-2],成為控制分析與綜合最有效的工具之一。H∞控制是魯棒控制理論中最為重要的設計框架之一。傳統的H∞范數計算問題都可以通過有界實引理轉化為標準的LMI表達式。但是,在多目標或多通道控制分析與綜合時,矩陣表達式中的系統矩陣和Lyapunov變量之間的耦合導致問題非凸,難以求解。常見的解決辦法是針對所有的約束條件使用相同的Lyapunov函數[2],這使得控制器的保守性大大增加。近年來,通過在矩陣表達式中引入松弛變量,能夠實現系統矩陣和Lyapunov變量之間的解耦,減小設計保守性。M.C.Oliveira和J.Geromel在這方面做出了開創性的研究工作[3],獲得了基于參數依賴Lyapunov函數的不確定離散時間系統的魯棒穩定條件。其后,眾多的控制學者[4-8]繼續對這一問題進行了深入研究,并進一步將相關結果擴展至魯棒H2、H∞控制問題以及D-穩定問題。但是,上述文獻主要考慮了離散時間系統的參數依賴Lyapunov穩定性,而連續時間系統由于其穩定性條件所對應的LMI表達式自身的特點,難以實現Lyapunov變量與系統參數的解耦。如何將連續時間系統穩定性條件表述為依賴于松弛變量的LMI表達式,依然是魯棒控制領域的難題。P.Apkarian[9]利用投影引理(projection lemma)和雙邊投影引理(reciprocal projection lemma)將文獻[3]的結果推廣到連續時間系統,并應用于特征結構配置和H2控制。P.J.de Oliveira[10]得到了適用于連續和離散時間系統的H∞魯棒穩定條件。值得注意的是,以上這些方法的發展是與LMI松弛(LMI relaxations)技術的發展息息相關的,其應用于控制綜合問題中的重要前提是能夠消除Lyapunov變量與系統矩陣、控制增益的耦合。

同時,實際系統中的狀態量往往不能全部獲得,而測量輸出獲得部分信息是可行的。因此,輸出反饋的研究更具有實際意義,已經成為控制領域一個重要的開放問題。輸出反饋一般分為靜態輸出反饋(SOF)和動態輸出反饋(DOF)。與SOF忽略控制器狀態不同,DOF建立了完整的控制器狀態空間描述,獲得的控制效果更為出色。文獻[2,11]總結了DOF控制綜合中的兩種方法:消元法和變量替換法。隨后,文獻[12-15]將借助不同LMI松弛方法得到的穩定性條件應用于DOF控制綜合中。

文中針對連續時間系統,采用LMI松弛的方法,在穩定性條件對應的矩陣表達式中引入松弛變量,實現狀態矩陣和Lyapunov變量的解耦,獲得了保證系統魯棒穩定的新的充要條件。該充要條件可以使用不同的Lyapunov變量處理多目標或多狀態控制綜合問題,能夠降低設計保守性。同時,利用變量替換的方法,給出了滿足上述穩定性條件的H∞魯棒DOF控制器設計方法。該方法可以與參數依賴Lyapunov函數結合,應用于多目標/多通道控制綜合問題中。

1 魯棒H∞穩定的改進LMI條件

考慮以下的連續時間系統:

(1)

式中:x(t)∈Rn是狀態變量;w(t)∈Rh是外部輸入變量;z(t)∈Rp是可調輸出變量;Tzw(s)=C(sI-A)-1B+D表示z(t)到w(t)的傳遞函數;A、B、C、D為給定的適當維數常值矩陣。

定義1[2](H∞控制問題)針對系統(1),給定H∞范數上界γ,尋找一個控制器K能夠保證系統漸進穩定的同時滿足以下的優化問題:

(2)

其中的H∞范數對應系統頻率響應的最大奇異值的峰值,則稱該控制器為系統(1)的魯棒H∞控制器。

通過著名的有界實引理就可以將定義1中的H∞控制問題表示為一個標準的LMI表達式。

引理1[2](有界實引理) 對系統(1),設γ>0是一個給定的常數,則以下條件是等價的:

1)系統漸進穩定,且‖Tzw‖∞<γ;

2)存在一個對稱矩陣P,使得:

(3)

可以看到式(3)中系統矩陣A和B與Lyapunov變量P之間存在乘積項。這導致在控制系統綜合時只能使用同一個Lyapunov變量。下面將借助于LMI松弛的方法,通過在矩陣表達式中引入松弛變量實現系統矩陣與Lyapunov變量的解耦。在給出結論之前,首先介紹一個LMI松弛方法中的重要引理。

引理2[4](Finsler引理) 假設x∈Rn,Q∈Rm,A∈Rm×n,且A的秩滿足rank(A)

1)xTQx<0,?Ax=0,x≠0;

2)(A⊥)TQA⊥<0;

3)?μ∈R:Q-μATA<0;

4)?P∈Rn×m:Q+PA+ATPT<0。

Finsler引理已經成為LMI松弛過程中最重要的方法之一。接下來文中將利用引理2中的第二個和第四個表達式的等價關系,獲得一個新的連續時間系統的魯棒穩定條件。

定理1考慮連續時間系統(1),對于給定的H∞范數上界γ,如果存在對稱正定矩陣P和矩陣V滿足:

(4)

則系統穩定且滿足H∞性能指標。

證明:

充分性證明:令V=P,并將其代入式(4)中,得:

(5)

根據Schur補引理[2],上式等價于:

(6)

因為P>0,顯而易見PAP-1ATP>0成立。將式(6)改寫為:

(7)

注意到式(7)左邊的第一項與式(3)相同,因此式(7)成立則式(3)一定成立。根據引理2,可知滿足式(4)則系統漸近穩定且‖Tzw‖∞<γ。

必要性證明:已知系統穩定且滿足H∞性能指標,則根據引理2,系統滿足式(3)。式(3)可以改寫為以下形式:

(8)

式中:

(9)

根據引理2,式(8)等價于:

(10)

顯而易見,式(10)等價于式(4),定理1得證。

可以看到,在定理1中由于松弛變量T的引入,為H∞性能指標約束下的控制分析與綜合問題提供了額外的自由度。并且,定理1可以方便的擴展到H2控制和D-穩定問題。但是,也應該注意到松弛變量T選擇為一個較為特殊的形式:[V0000]T,可能會帶來一定的設計保守性,在今后需要進一步研究。

2 動態輸出反饋控制綜合

2.1 問題描述

考慮以下的連續時間系統:

z(t)=Czx(t)+Dzu(t)

y(t)=Cx(t)

(11)

式中:x(t)∈Rn是狀態變量;u(t)∈Rm是控制輸入;w(t)∈Rh是干擾輸入;z(t)∈Rp是可調輸出;y(t)∈Rp是輸出變量;A、B、G、C、Cz、Dz為給定的適當維數常值矩陣。

本節的目的就是利用第二節中的改進LMI穩定條件,為系統(11)設計一個DOF控制器,使閉環系統穩定并滿足H∞魯棒性能指標。

對于系統(11),設其DOF控制器為:

u(t)=CKxK(t)+DKy(t)

(12)

式中:xK(t)∈Rk是控制器狀態變量;AK、BK、CK、DK為需要求解的未知控制器增益矩陣。由式(11)和式(12)構成的閉環系統為:

z(t)=Cclxcl(t)

(13)

(14)

2.2 控制綜合

引理3考慮閉環系統(13),對于給定的H∞范數上界γ,如果存在對稱正定矩陣Pcl和矩陣Vcl滿足:

(15)

則系統穩定且滿足H∞性能指標。

引理3的證明過程與定理1類似,不再敘述?？梢钥吹?將閉環系統狀態變量Acl、Bcl、Ccl代入式(4)后,式(15)中的Lyapunov變量Pcl與控制器增益矩陣AK、BK、CK、DK以非線性的形式出現,難以直接求解。因此,下面借助文獻[2,11]中的變量替換法,以新的變量代替原來的非線性項,將非線性矩陣不等式轉化為LMI處理。

定理2考慮閉環系統(13),對于給定的H∞范數上界γ,如果存在對稱正定矩陣P1、P3,矩陣X、X2、Y、Y2、U、P2滿足:

(16)

(17)

式中:

(18)

則閉環系統穩定且滿足H∞性能指標。

證明:

令:

(19)

易知:

(20)

令:

(21)

則式(20)可以簡寫成:

VclF1=F2

(22)

根據式(14),式(19)～式(22)的表述,可知

(23)

(24)

充分性證明:根據式(24)的表述,可將式(16)整理為:

(25)

AK=

(26)

定理2實現了Lyapunov變量Pcl與系統矩陣和控制器增益矩陣之間的解耦。針對多目標或多狀態優化問題,只需要對附加的松弛變量Vcl進行約束,就可以采用不同的Lyapunov變量Pcl處理不同的優化目標或系統狀態,有效減小保守性。

3 數值算例

考慮連續時間系統(11),令:

設DOF控制器為嚴格真,即DK=0。取H∞范數上界γ=10,根據定理2,利用MATLAB YALMIP工具箱[16]求得DOF控制器為:

為驗證上述方法的有效性,利用文獻[7]中的方法獲得了類似定理1的狀態反饋控制器:

并將兩種方法進行比較。

分別采用上述兩種控制器得到閉環系統的極點分布和H∞指標,如表1所示。從表1中可以看出,無論在DOF或狀態反饋的情況下,閉環系統的極點均位于復平面的左半平面,即閉環系統是漸近穩定的。并且,在系統信息不完全的情況下,文中方法得到的DOF控制器依然能夠保證系統的H∞性能與狀態反饋基本一致,說明了文中方法能夠有效減小控制器設計的保守性。

表1 閉環系統的極點分布和H∞性能

4 結論

文中研究了連續時間系統魯棒H∞動態輸出反饋控制器設計問題?；谟薪鐚嵰砗虵insler引理給出了滿足H∞性能指標約束的魯棒穩定的充要條件。通過在該條件中引入松弛變量,實現了對Lyapunov變量和系統矩陣的解耦。應用變量替換的方法,將輸出反饋魯棒控制器的可解條件化為標準的LMI,并給出了求解方法。數值算例的結果進一步說明了文中方法的可行性和有效性。

[1] BOYD S,CHAOUI L,FERRON E,et al.Balakrihnan V.Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory [M].Philadelphia:SIAM,1994:85.

[2] 俞立.魯棒控制：線性矩陣不等式處理方法[M].北京:清華大學出版社,2002:102-108.

[3] OLIVERIRA de M C,BERNUSSOU J,GEROMEL J C.A new discrete-time robust stability condition [J].Systems & Control Letters,1999,37(4):261-26.

[4] OLIVERIRA de M C,SKELTON R E.Stability tests for constrained linear systems [C]//MOHEIMNI S O R.Perspectivesin Robust Control.London:Springer,2001,268:241-257.

[5] SHAKED U.Improved LMI representations for the analysis and the design of continuous-time systems with polytopic type uncertainty [J].IEEE Transactions on Automatic Control,2001,46(4):652-656.

[6] OLIVERIRA de M C,GEROMEL J C,BERNUSSOU J.Extendedandcharacterizations and controller parameterizations for discrete-time systems [J].International Journal of Control,2002,75(9):666-679.

[7] 楊志紅,馬廣富,李傳江.基于擴展LMI的多目標狀態反饋控制綜合[J].電機與控制學報,2004,8(4):333-337.

[8] PIPELEERS G,DEMEULENAERE B,SWEVERS J,et al.Extended LMI characterizations for stability and performance of linear systems [J].System & Control Letters,2009,58(7):510-518.

[9] APKARIAN P,THAN H D,BERNUSSON J.Continuous-time analysis,eigen-structure assignment and synthesis with enhanced linear matrix inequalities (LMI) characterizations [J].IEEE Transactions on Automatic Control,2001,46(12):1941-1946.

[10] OLIVERIRA de P J,OLIVERIRA R C L F,LEITE V J,et al.guaranteed cost computation by means of parameter-dependent Lyapunov functions [J].Automatica,2004,40(6):1053-1061.

[11] SCHERER C W,GAHIENT P,CHILALI M.Multiobjective output-feedback control via LMI optimization [J].IEEE Transactions on Automatic Control,1997,42(7):896-911.

[12] EBIHARA Y,HAGIWARA T.New dilated LMI characterizations for continuous-time multiobjective controller synthesis [J].Automatica,2004,40(11):2003-2009.

[13] YANG R,LU L,XIE L H.Robust and control of discrete-time systems with polytopic uncertainties via dynamic output feedback [J].International Journal of Control,2005,16(10):1285-1294.

[14] LEE K H,LEE J H,KWON W H.Sufficient LMI conditions for output feedback stabilization of linear discrete-time systems [J].IEEE Transactions on Automatic Control,2006,51(4):675-680.

[15] GEROMEL J C,KOROGUI R H,BERNUSSON J.and robust output feedback control for continuous time polytopic systems [J].IET Control Theory Application,2007,1(5):1541-1549.

ImprovedLMI-basedRobustH∞DynamicOutput-feedbackControlSynthesis

HAO Feng1,2,YE Sijun2,CHE Xiaotao2

(1 School of Astronautics,Northwestern Polytechnical University,Xi’an 710072,China; 2 No.203 Research Institute of China Ordnance Industries,Xi’an 710065,China)

The problem of robust H∞control synthesis based on dynamic output-feedback (DOF) for continuous-time systems is investigated.By using of Linear Matrix Inequality (LMI) technique,new sufficient and necessary condition for the existence of robust H∞DOF controller is derived.The condition eliminates the coupling of Lyapunov variable and system matrices by introducing slack variable to reduce the conservatism of controller design.The nonlinear matrix inequality in the proposed condition is converted into LMI about new variables based on variable substitution method.A numerical simulation example is given to demonstrate the effectiveness of the approach.

control theory; robust control; dynamic output-feedback; linear matrix inequality; H∞control

10.15892/j.cnki.djzdxb.2017.02.002

2016-01-11

總裝預先研究項目(1020702)資助

郝峰(1975-),男,陜西西鄉人,高級工程師,博士研究生,研究方向:飛行器總體設計、飛行動力學與控制。

TP13

A