在“悟”中學策略

徐宏臻

【摘 要】在教學“解決問題的策略”時，教師要引導學生對策略進行具體的、充分的和不斷的感悟，從而“悟”出策略的名稱、內涵、實質、適用范圍以及使用注意點等。為此，教師在引入時要具體地“悟”，在回顧時要充分地“悟”，在運用時要深刻地“悟”，在拓展時要不斷地“悟”，直至學生對此形成較為準確的、清晰的、全面的和深刻的認識，并逐步養成“愛策略”“想策略”“用策略”的意識。

【關鍵詞】解決問題教學 悟 轉化策略

在教學“解決問題的策略”這一內容時，筆者常想：如何讓這種策略被學生充分地感悟、深刻地內化和主動地運用呢？實踐證明，“悟”是內化策略的一大法寶，也是重要的實施路徑。教師要引導學生對策略進行具體的、充分的和不斷的感悟，從而“悟”出策略的名稱、內涵、實質、適用范圍以及使用注意點等，直至形成較為準確、清晰、全面和深刻的認識，這樣才有可能將其內化為學生自覺的行動。現以蘇教版五年級下冊的轉化策略為例，談談筆者是如何讓學生“悟”的。

一、在引入時具體地“悟”

感悟在過程中產生和形成。學生對某種策略的感悟需要有具體的、深刻的解題過程做支撐，需要有親身經歷的“做數學”的體驗做基礎。過程豐盈，體驗自然豐富。筆者認為，這個探究過程不能太順暢，否則學生的體驗會不多、不強和不深，他們也不會主動地尋找和感悟策略。為此，教師要適當增加問題的挑戰性和復雜性，制造學習的“障礙”，讓學生的探究之路變得曲折一些；要善于把某種策略先“藏”起來，讓學生獨立思考，自主探究，合作交流，親歷一番較為坎坷的、充分的問題解決的過程，再把策略尋找并揭示出來，從而讓這種策略“凸”出來。這樣，學生才樂于“悟”策略的名稱、內涵。

在教學蘇教版教材“解決問題的策略”時，一般安排兩道例題，其中例1主要是引入這種策略，例2主要是運用這種策略，都是通過解決某個具體的問題讓學生學習某種策略。為了凸顯這種策略的價值和意義，教材往往選擇較為典型的且有一定難度的實際問題作例題。在教學時，教師要讓學生具體感悟到的是運用了什么策略，是怎樣運用的，為什么要運用這種策略，運用這種策略有什么好處，在運用時要注意什么等。要設法讓學生強烈地感受到：這里的確是運用了一種好的策略幫助我們解決了難題，這種策略真有用，我們要把它找出來，為方便地解決問題服務，從而引導學生自覺地尋找并揭示策略，主動地“悟”策略。

例如，在教學轉化的策略時，例題是把兩圖畫在格紙上，讓學生觀察和比較哪個面積大一些。為了凸顯轉化策略的好處和內涵，筆者有意對此進行了改進。先出示沒有畫方格的兩圖（如圖1），讓學生看圖比較面積的大小。學生或猜左圖面積大，或猜右圖面積大，或說難以比較。筆者問學生：你們難在何處？學生或說兩圖太復雜了，以前沒學過；或說沒標關鍵的數據；或說沒把圖放在格紙上。這時，筆者順勢把兩圖放在格紙上（如圖2），先讓學生仔細觀察這兩個圖形的特點，再比較大小。有學生說，可以通過數方格的方法比較。筆者讓其上臺一一數方格（即按照以前的數法，不滿一整格的都算半格）。許多學生說這種方法太麻煩，且不夠準確。于是，筆者問：有更好的方法嗎？順勢讓學生自主想妙法比較大小。學生興趣盎然地在作業紙上探索起來，他們或想或剪或拼等。

待學生自主地、充分地探索后，筆者借助教具讓其把具體的轉化過程和結果一一板貼在黑板上（如圖3）。對于圖1，有人把其上部半圓剪開，平移到下部，正好拼成一個長8、寬6的長方形；有人把其下部的“拱橋”剪開，平移到上部，也正好拼成一個長8、寬6的長方形。對于圖2，有人把其下部兩個半圓形都剪開，分別向上旋轉180°，正好拼成一個長8、寬6的長方形；有人把其上部均分后剪開，旋轉到下部，正好拼成一個長12、寬4的長方形；還有人沿著對稱軸剪開，翻轉其中一部分，從而把原圖拼成一個長8、寬6的長方形。這時，學生強烈地感受到轉化的神奇和價值，直觀地看到兩圖形狀雖變，但面積不變，由衷地夸贊轉化。這時，筆者再引導學生比較轉化后兩圖面積的大小，學生說太簡單了！兩個原圖都被轉化為含有48個格子的長方形，所以面積相等。

在此基礎上，筆者引導學生及時反思：剛才我們是用什么策略解決了這個問題的？你能給這種策略起個名字嗎？學生紛紛舉手，或說變形，或說轉變，或說變換，或說轉化……這時，筆者趁勢揭示課題“解決問題的策略——轉化”也就水到渠成了，學生似乎對“轉化”二字有點意會。筆者繼續引導學生深思：在轉化的過程中，什么變了，什么沒變？你認為轉化有什么好處？我們是運用哪些方法進行轉化的？你還有哪些體會要說？由于親身經歷了較為曲折的探究過程，學生自然有話要說，而且有許多話要說。他們說：兩圖的形狀變了，周長變了，但面積沒變；轉化能把復雜的、繁難的問題變為簡單的、容易的問題，把未知的圖形變為已知的圖形。這時，筆者順勢在上圖相應位置板書（復雜→簡單；未知→已知），圖文對照，便于理解，學生對轉化策略似乎加深了體會，很容易說出是用平移、割補和旋轉等方法進行轉化的，在轉化的過程中要注意前后圖形中是什么變了、什么沒變等。

筆者有意“逼”學生自主想策略。面對沒有格紙的裸圖，學生先感到無措；加上格紙后，學生有了思考的依據，自然而然地想到了數方格；然而由于數方格有缺陷，他們又不甘心一一去數，這種矛盾心理“逼”著學生去探尋更好的解決問題的方法。他們主動地去思索，去操作，去變形，去驗證，從而尋找到解決問題的好方法。在此基礎上，引導學生把方法上升到策略，為其起名，感悟其好處和意義，以及使用中的注意點等，從而逐步“凸”出此策略，并讓學生對這種策略有具體的、直觀的感悟。這樣，學生對這種策略的體驗就會強烈和深刻，就會有較深的印象，策略也會逐步“烙”在學生心上。

二、在回顧時充分地“悟”

一種策略要想逐步走進學生心里，僅靠對一道例題的具體感悟是不夠的，學生需要有充分的感性積累和大量的實踐體驗。只有對較多的實例有充分的感悟，學生才會對某種策略有所感知和體驗，才會有運用的意識。為此，蘇教版教材在編排“解決問題的策略”時，采用了“前有孕伏，中有突破，后有運用”的編排體系，并在具體教學某一策略時，特意安排了回顧和反思環節，引導學生回想一下，以前曾經運用這種策略解決過哪些問題。這樣編排的目的就是為了讓學生充分地感悟策略，多方面地體悟策略，從而豐富對策略的體驗，深化對策略的認識，內化策略的實質，增強運用意識。為此，教師要充分利用學生已有的知識和經驗，發揮其對感悟策略的獨特價值，引導學生從策略的角度進行回顧和再認，溝通其內在聯系，并將其提升到數學思想的高度來認識。有人認為，這一環節應快速通過，省下時間讓學生趕快做題。筆者認為，這一環節的教學雖不應像例題那樣濃墨重彩，但也不應浮光掠影，應擇其要點和關鍵，適當引導學生進行具體的回顧和反思，讓其切實體會到：在學習某個知識時，的確是運用了這種策略，并且能說出如何運用的，從而增強策略體驗，積累轉化經驗，感悟策略本質。endprint

例如，在上述教學后，首先筆者引導學生回顧以前曾運用這種策略解決過哪些問題，先回憶在圖形方面的運用。學生說在求平行四邊形的面積時，曾把平行四邊形的面積轉化為長方形的面積。筆者相機出示圖形，讓學生具體說說當時是如何轉化的（過程和圖略）。學生又說在求三角形（或梯形）的面積時，曾用兩個完全一樣的三角形（或梯形）拼成一個平行四邊形，從而把三角形（或梯形）的面積轉化為相應平行四邊面積的一半。同樣，在求圓的面積時，也進行了多種轉化（過程和圖略）。在此基礎上，讓學生回想一下學習這些圖形面積的順序，再看看轉化的順序，并進行比較（見圖4）。學生通過觀察、比較，體悟到：學習是從簡單到復雜，從易到難，而轉化的順序把復雜的轉化為簡單的，把未知的轉化為已知的，從而進一步理解轉化的內涵和實質。

其次，舉例說明轉化在數的運算中的運用，并讓學生自己舉例，讓學生切實感悟到其中的轉化思想，感悟到轉化思想在數學上的運用比比皆是。最后，把形與數方面的典型實例進行匯總，讓學生集中觀察和感悟，體會什么叫轉化，為何要轉化，如何轉化，這樣轉化有什么好處，在轉化時要注意什么，你有什么體會要說等，從而豐富對策略的體驗，深化對策略的認識，增強策略意識。

通過教學，學生深切地感悟到：轉化其實就是換一種角度思考問題，變一種思路解決問題；就是把未知轉化為已知，借助已知解決未知；就是把難解的問題變為易解的問題，把復雜的問題變為簡單的問題等。

三、在運用時全面地“悟”

“用”非常有利于“悟”。教材既想讓學生通過策略解決問題，又想通過解決問題使其進一步領悟策略，它最關注的是“策略”。為此，專門安排了相關的運用練習，讓學生在用中進一步地“悟”。為了促使學生對某一策略有豐富的、深刻的感悟，教師不應止步于一節課學生做多少習題，而應以學生對策略感悟的多少和深淺為要旨，引導學生結合解決問題全面地“悟”，具體“悟”到：為什么要轉化，究竟是把什么轉化成了什么，是如何轉化的，有哪些新體會等。這樣才便于學生對策略有更具體和更全面的體悟，才便于其掌握轉化方法，形成策略意識，產生轉化行為。

例如，在上述回顧和反思后，筆者讓學生解答練習十六第1題（等長變形），在其解答后，引導學生及時反思：這里運用了什么策略？（轉化，即把原來不規則圖形的周長轉化為規則的長方形的周長，把未知圖形的周長轉化為已知圖形的周長）是如何運用的？（用平移的方法）轉化前后，什么變了，什么沒變？（形狀和面積變了，但周長沒變）。這樣轉化后有什么好處？（簡便）這樣就讓學生具體感悟到轉化的前提是前后相等，轉化的方向是化繁為簡。當然，這些要點在后續的練習中還要讓學生多次體悟到，并照此進行轉化。

有些習題轉化的方法不止一種，這更要讓學生借此進行多方面的感悟，以便其對某種策略有更全面的認識，從而學會優選轉化方法。如在解答用分數表示圖5中的涂色部分時，學生出現了三種不同的轉化方法：一是改“斜”歸正，即把圖中“斜”放的正方形撥“正”（如圖6）。許多學生誤以為涂色正方形的邊長就是3，從而得出涂色的面積占大正方形的[916]。二是直接劃分，即把圖中陰影部分劃分為四個同樣的小直角三角形和一個邊長為2的正方形（如圖7）。

每兩個小直角三角形拼成一個長方形，這個長方形的面積占3格，這樣陰影部分共有6+4=10格，從而算出陰影部分占整個圖形的[1016]=[58]。三是側面進攻，先把4個空白部分拼成兩個長方形，從中明顯看出空白部分共有6格，再用16-6=10格，因此很容易求得陰影部分占整個圖形的[1016]=[58]（如圖7）。筆者讓學生比較這三種方法：你更喜歡哪種方法？學生普遍認為第三種方法簡便、巧妙。

對于第一種方法，許多教師或借助直觀演示，或借助“在點到直線的所有線段中，垂直線段最短”，或借助“斜邊大于直角邊”，說明涂色部分不是邊長為3的正方形，從而既否定了學生的得數，又否定了學生的方法。其實，學生把原圖撥正是正確的，只不過涂色正方形的面積，學生暫時還不能求出，待到中學就能根據勾股定理知道是32+ 12 =10，從而求得涂色部分的面積占整個圖形的[1016]=[58]。所以教師不應完全否定這種轉化方法，而應告訴學生：這樣轉化便于觀察，但我們暫時還不能求出涂色正方形的面積，到了中學就會很方便地求出，請換一種轉化方法。通過這一題的解答，讓學生充分感悟到：有時從正面進攻比較困難，不如換一個角度，從側面或反面進攻。筆者順勢出示匈牙利數學家路莎·彼得的名言：“數學家們往往不對問題進行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉化為已經能夠解決的問題。”這樣，學生對轉化策略就會有新的、更多的認識，就會積累更多的轉化經驗。

當然，在教學中，我們也要防止只用一種策略“狂轟濫炸”，使學生產生思維定勢和審美疲勞。我們要通過適當的變式，讓學生感悟到：解決問題要根據實際情況，靈活選擇策略，有時需要運用多種策略（具體教學過程略）。

四、在拓展時深入地“悟”

在教學轉化的策略時，許多教師在課尾都要進行適當的拓展和延伸，介紹轉化在生活中的廣泛應用，如“司馬光砸缸”“ 圍魏救趙”等，介紹古今中外的名人運用轉化策略巧妙地解決數學問題的故事，如“曹沖稱象”“于振善稱面積”等，從而拓寬學生的視野，增強學生的轉化意識。筆者認為，在介紹這些故事時，教師不要只讓學生聽聽而已，而要讓學生邊聽故事，邊與主人公一起想辦法解決問題，仿佛置身其中，一同經歷解決問題的全過程。這樣才能讓學生“悟”到“策略味”，“悟”到其中的數學思想，“悟”出新意，“悟”出智慧，從而提升策略，運用策略。

如在講述“于振善稱面積”的故事時，在介紹了相關背景后，可啟發學生思考：你知道，木匠出生的于振善在面對如何較為準確地求出各國不規則的地圖面積時，想到了什么巧妙的方法嗎？讓學生先獨立思考，自主探索。在學生一籌莫展或各抒己見后，才出示圖8，引導學生思考：你知道他是怎么“稱”的嗎？引導其再思考，再探索，并交流。在此基礎上，再逐步介紹于振善的方法：他找來一塊質地均勻的木板，把各國不規則的地圖描在紙上，貼在這塊木板上。這時，筆者繼續引而不發：猜猜看，接著他會怎么做？在學生充分思考和交流的基礎上，再逐步揭示于振善的妙法：于振善從這塊貼有地圖的木板上鋸下一塊1平方分米的木板，稱出它的質量。你知道下一步，于振善會怎么做？有的學生靈機一動，想到于振善會把所求面積的地圖從木板上鋸下，再稱出其質量，最后把兩塊木板在質量上的倍比關系轉化為它們面積之間的倍比關系，從而推算出地圖的面積。這時，學生情不自禁地感慨道：轉化真神奇！于振善真有智慧！這時，筆者引導學生反思：于振善究竟是用什么策略解決這一難題的？怎樣運用的？學生大多能領悟到：于振善是把不規則地圖的面積轉化為規則的1平方分米的面積，通過兩塊木板在質量上的關系，推算出未知的地圖的面積。

這樣，學生邊聽故事邊思考，一起經歷解決問題的過程，遠勝直接介紹。學生不但印象深刻，而且從中能進一步強烈和深刻地體悟到轉化策略的神奇和價值，感悟到智慧的力量，從而增強運用策略解決問題的意識，使策略意識和數學思想逐步根植于心。

由此想到，策略教學必須切實重視學生的“悟”，要通過不斷地“悟”，引導學生“悟”出該策略的內涵和本質，“悟”出該策略的特點和使用方法等，并使學生養成“愛策略”“想策略”“用策略”的意識，增強其策略地、創造性地解決問題的意識，從而讓策略意識逐步走進學生心里，并內化為自覺的行動。

（江蘇省高郵實驗小學 225600）endprint