基本的數學活動核心經驗新探索

王喜清

【摘 要】作為《義務教育數學課程標準（2011年版）》“四基”內容之一的“基本數學活動經驗”已提出多年。但目前諸文獻對“基本數學活動經驗”的概念解釋不統一，致使一線教師對其概念理解出現困惑。從眾家共同認識中找出基本的數學活動經驗的核心成分，并從經驗的感性和理性層面的視角入手，厘清“基本的數學活動核心經驗”概念并與“四基”其他內容進行辨析，以利于教師教學中抓住基本的數學活動經驗教學的核心目標。

【關鍵詞】感性認識 理性認識 核心經驗 基本的數學活動 遷移

基本數學活動經驗已提出多年，《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）將其列入“四基”內容之一。但目前對“基本的數學活動經驗”的概念的解釋卻不統一，主要體現在對“經驗”的內涵及外延的不同側面的理解上。眾人對經驗的解釋不統一，導致一些教師理不清基本的數學活動經驗的本質特征以及和“四基”中其他內容的聯系與區分，不能準確地把握對應的教學目標。本文試圖從多數人對經驗的共同認識中找出基本的數學活動經驗的核心成分，從知識經驗的感性及理性層面的視角入手，給出“基本的數學活動核心經驗”概念，為一線教師對“基本的數學活動經驗教學核心目標”的把握找到一個突破口。

一、個體的知識、經驗及核心經驗

知識，其一指個體大腦貯存的內容；其二指社會上流通的“知識”，即人類的知識。教師教學更關心的是學生如何建構出自身腦內知識的。本文談的知識、經驗等等，不指外在客觀世界的內容，而指經過個體感知、體會或加工等貯存于個體腦內的內容。知識有廣義和狹義之分，本文中個體的知識主要是指個體獲得的狹義的知識，即陳述性知識。

（一）與經驗相關的感性認識和理性認識

知識含感性知識（感性認識）和理性知識（理性認識）。感性認識含感覺、知覺和表象三種基本形式，看到的是事物的某些外部特征、外在聯系或表面現象，看不到同類事物的共有的一般因素，看不到事物內在的本質特征或內在聯系，人們常常將其稱為感性經驗。理性認識是揭示事物一般因素、本質因素的認識。所謂一般因素，指一類事物所共有的特征或聯系等因素，但該因素也可能是與其他類事物共有的因素。如“內角是直角”是所有正方形具有的一般因素，但該因素所有矩形也都具有。所謂本質因素，指決定事物性質，建立與其他類事物的聯系與區分的因素。如“矩形是內角為直角的平行四邊形”，這是矩形的本質因素，其他平行四邊形不具備。又如認識了圓的面積公式，而能將其與圓周長公式等其他公式嚴格區分，則認識了圓的面積公式的本質。

1.直觀中獲得的感性認識

從認識活動角度看，直觀是不經過中間環節而直接接觸實際事物的感性認識（感覺、知覺、日常概念、觀念等）過程。直觀是在刺激物（實物、模像和語言等）直接作用下發生的，獲得的感性認識與實際事物聯系較為直接。直觀活動中，除含感知成分外，還含想象、初步的思維和記憶成分，但沒經過進一步的理性思維加工。直觀活動是直接認識事物的外部表征與外在聯系的活動，它一般是領會抽象的科學知識的起點。直觀主要含實物直觀、模像直觀與言語直觀。如看到一個現象，聽到一個人說話，看到面前事物間的表面關系等，這些都屬于人們常說的“感性經驗”層面。

2.對直觀感性認識的感性概括

在感性認識中，不僅含直觀獲得的感性經驗，還含對這些直觀的感性經驗的感性概括。所謂感性概括，是大腦對直觀事物的直覺概括，是對事物的外部聯系的概括，是對事物的表面特征的概括。該概括沒經歷理性思考的過程，不能認識事物的內在聯系、內在規律和獨自的本質特征。比如，幼兒通過觀察生活中的各種具體的長方形，概括出“方形”概念，但說不清“確定方形的標準到底是什么”。這種感性概括的結果，也隸屬于我們生活中常說的“經驗”，由于它是概括而得，故與直觀相比，強化了遷移因素。

感性概括有時會得到錯誤結論。其一，有時所概括出的特征不具一般性。如學生看到的矩形相鄰的邊都是一長一短，就認為這是所有矩形共有的一般性特征，從而將正方形排除在矩形之外。其二，有時所概括的不是本質特征。如學生看到所有正方形的對角線相等，故概括出對角線相等的方形是正方形。但這不是正方形區分其他圖形的本質特征。盡管感性認識并沒有真正認識到事物的本質及內在規律，所獲得的經驗可能是正確的，也可能是錯誤的，但感性認識是理性認識的窗口，沒有感性認識，理性認識一般無法開始。

3.沒經過嚴格推理過程的初步的理性認識

以感性認識為基礎，主體可透過表面認識，進入初步的理性認識階段，發現事物一般性的特征及內在的本質性聯系。但此時認識只處于簡單說理或感悟層面，只是經歷了類比推理或不完全歸納推理或不嚴謹的演繹推理的過程，其認識不一定嚴謹。生活中所說的“經驗”，大多指這些。如一些學生認識到所有正方形共有的一般性特征和內在本質特征：鄰邊相等的長方形，對角線相互垂直且相等，四角是直角且鄰邊相等……但這些往往是不完全歸納概括得到的對其本質的感悟，至于為何這些結論是正確的，沒經歷完全歸納或嚴格的演繹推理證明過程。與“感性概括相比”“初步的理性認識”遷移因素更強，它是通向嚴謹層面的理性認識的中介。特別是學生解題實踐中總結出的解題策略，大多屬于該層面的認識。

4.經歷嚴格推理驗證得到的理性認識

此時獲得的本質認識或是通過嚴格的演繹推理得到證明的，或是通過完全歸納推理等得到證明的。如小學生通過將圓形紙片剪裁開拼補成近似長方形，由此得到圓面積公式。這里對圓面積公式的認識，經歷了演繹推理證明過程，在該過程中厘清了圓面積公式是對所有圓都適用的公式，厘清了圓面積公式的內在本質特征及與長方形面積公式的聯系（該證明雖然不是標準規范的邏輯證明，但對小學生來說，確實經歷了嚴謹的演繹推理的理性思考）。此時獲得的已經不是淺層的理性認識了，而是深層的理性知識經驗了。

（二）核心經驗的概念endprint

人們日常生活中常說的“經驗”，大多指已經獲得的沒經過嚴格證明的且能在以后不同情境運用的具有模式化的認識。本文以前面知識經驗的不同層面的討論為基礎，給出中小學生核心經驗的概念：

中小學生對直觀的感性概括形成的感性認識和沒經過嚴格的推理過程形成的理性認識，如果這些認識具有模式化和遷移性，則統稱為“中小學生核心經驗”，簡稱“核心經驗”。

這里的核心經驗，第一，是個體大腦儲存的認識；第二，是感性概括化認識和僅僅處于感悟、說理層面的初步的理性認識；第三，這種認識基本可用自己的語言表述，主要隸屬于陳述性知識；第四，這種認識具有模式化和遷移性，能應用于不同情境。

核心經驗是對客觀事物的淺層概括化認識，且是廣義經驗的核心部分。盡管眾人對經驗的解釋不同，但筆者給出的“核心經驗”，是大多數人的共同認識的核心內容。核心經驗是形成深層知識的基礎，對核心經驗進行進一步理性加工后，則形成深層的知識經驗。

從經驗的內容不同，核心經驗可劃分為思維方法模式化認識和非思維方法模式化認識。所謂思維方法模式化認識，即數學思想方法中的具體方法認識的經驗層面。如面對具體問題，能找到具體的、可陳述的解題方法或技巧，則獲得了思維方法模式類核心經驗。而像對概念、公式、命題等認識及辨析等經驗，屬于非思維方法性認識。如學生知道了0.1元代表1角，0.2元代表2角（還不知道其原理），則是獲得了非思維方法模式化核心經驗。這兩類經驗都是和學生日常學習息息相關的。

二、基本的數學活動核心經驗

（一）中小學生基本的數學活動

中小學生的基本數學活動，是中小學生水平下的數學實踐活動。《課標》中與經驗配套的基本的數學活動，是對中小學生學習專門提出的。關于基本的數學活動，張奠宙、史寧中等專家均有精辟論述（詳細見參考文獻[1][2]）。根據個人的理解，其特征摘要如下。

（1）基本的數學活動必須是以探究數學問題為目標的活動。如果一個活動僅僅是和數學相關但不作為目標，通過活動獲得的經驗是不含數學內容的生活經驗，則不屬于基本數學活動。

（2）基本的數學活動是以中小學數學知識學習為背景，與學生生活或生活經驗直接聯系的數學學習實踐活動。活動內容不是多次抽象得到的遠離生活的數學內容。活動中，學生親歷外部世界，從生活中抽象出數學，進而形式化；或用抽象的數學解決生活中的具體問題。

（3）基本的數學活動操作對象或是和數學相關的生活中的具體形象的事物，或是對生活中具體形象的模擬，或是與生活直接聯系的數學對象，或是在純數學學習中形成的貼近生活的數學現實（如，學生在紙上畫三角形，測量三角形內角和。三角形圖形雖然不是日常生活中的具體原型，但是學生數學生活中常常看到的圖形，已經成為學生數學生活現實）。

（二）基本的數學活動核心經驗的概念

受張奠宙、史寧中等各位專家對基本數學活動經驗的界定的啟迪，并調查一線教師的認識，今在“基本的數學活動”及“核心經驗”概念討論的基礎上，給出基本的數學活動核心經驗的概念：

基本的數學活動核心經驗，是指在數學目標指引下、通過對具體事物進行實際操作，考察或思考，所產生的感性認識以及沒經過嚴格推理證明的初步理性認識，且這個認識具有模式化和遷移性。

中小學生在基本的數學活動中，體驗獲得的有關數學的核心經驗，其實就是基本的數學活動核心經驗。基本的數學活動核心經驗，不含基本的數學活動經驗的所有內容，但它是中小學生基本的數學活動經驗的主要部分。

（三）基本的數學活動核心經驗與其他“三基”內容的辨析

1.基本的數學活動核心經驗與數學基礎知識的辨析

《課標》中的數學基礎知識主要指中小學生獲得的最基本的數學概念、公式、法則、典型固定的數學方法或命題等基本知識內容。基礎知識不全是在基本活動實踐中直接獲得的（特別含在被告知中獲得），而數學基本活動核心經驗必須在基本活動中獲得。數學基礎知識含一些基本的數學活動核心經驗，也含更嚴謹深層的理性認識；數學基本活動核心經驗不含更嚴謹深層的理性認識。基本的數學活動核心經驗特別強調獲得的可以遷移的內容，但基礎知識卻不一定都能遷移。如一個學生學習了數學概念、命題等，但有時尚不能將其靈活運用于具體情境，則此時他還沒獲得相應的數學基本活動核心經驗。數學基礎知識有的是意義學習中獲得的，有的機械記憶比例偏大；而基本的數學活動核心經驗是意義學習中偏重自身體驗獲得的，不易遺忘，更容易遷移。

2.基本的數學活動核心經驗與數學基本思想的辨析

《課標》中的數學基本思想是面對中小學生學習提出的：其一，主含關于數學的抽象、推理、建模等方面的思考策略及觀念，它不是具體固定的方法和模式；其二，這些思考策略及觀念有些是在數學基本活動中執行或獲得的，有些不是在數學基本活動中執行或獲得的。數學基本活動核心經驗，其一，是在數學基本活動中獲得的；其二，獲得的不是思想觀念，而是在體驗中提煉出的固定具體的模式。如學生面對問題，能想到用數形結合策略分析問題，則說明學生具有了數形結合這個數學思想觀念；而學生能將這種具體思考路徑作為固定思考模式直接運用，有了具體操作程序模式，則說明他此時獲得了數形結合的經驗。

3.基本的數學活動核心經驗與數學基本技能的辨析

數學基本技能是大腦作用外在客觀世界的操作程序或形式，熟練的技能具有無意識輸出的自動化特征。基本的數學活動核心經驗是基本的數學活動經驗中的特定內容，不同于其他基本的數學活動經驗，其核心成分是有意識輸出的知識；相對數學基本技能而言，基本的數學活動核心經驗對其操作程序的認識較強，自動化成分相對弱。一個人獲得了技能，但他不一定獲得了核心經驗，因為此時個體可能說不出這個技能活動具體的程序是什么，在什么情境運用為好；而有了核心經驗，則會說出其程序的含義，能有意識地在不同情境去運用。一個人會熟練打字，則說明他有了打字技能；而該人能將打字操作規則程序說出，則說明他掌握了打字核心經驗。即便有些核心經驗有內隱性，但這個內隱性僅僅是表述清楚的程度不夠而已，絕不是技能中的自動化程序。技能可從訓練中獲得，而基本活動經驗主要是在活動中感悟獲得。endprint

三、“把握基本的數學活動核心經驗”的意義分析

（1）《課標》提出的“四基”之間既有聯系 ，又有其各自的特殊性。從宏觀看，“四基”中，基礎知識主含數學概念、公式、命題等；基本技能主含數學學習中作用于外在客觀世界的心智技能和動作技能；基本思想主含數學學習中的認知策略及觀念；基本的數學活動經驗主含數學學習中的直觀、感性認識向理性認識的飛躍、具體方法和思維模式。雖然眾家對基本的數學活動經驗的外延和內涵的解釋有區分，但基本的數學活動核心經驗匯總了眾家認識的共同內容，厘清了基本的數學活動經驗核心內容與其他“三基”間的邏輯關系，符合《課標》提出基本的數學活動經驗的初衷。基本的數學活動核心經驗和平時我們生活中常常說的“經驗”吻合，且是中小學生基本的數學活動中獲得的經驗中最主要部分；把握它有利于抓住基本的數學活動經驗教學的本質與核心。

（2）張奠宙教授指出，基本數學活動經驗主要指活動中從感性認識向理性認識飛躍時形成的認識。史寧中教授指出，基本數學活動經驗主要指活動中感悟歸納推理和演繹推理過程中積淀的思維模式和直覺。本文提出的基本的數學活動核心經驗，基本遵循并融合了兩位教授精辟論述中的核心內容，也是和中小學數學教學聯系最多的內容。

（3）基本的數學活動核心經驗是基本的數學活動經驗中容易捕捉和摸到的內容，明確了基本的數學活動核心經驗，有助于理解數學基本活動經驗的維度和層面特征，以此找到培養基本的數學活動經驗的主要操作步驟。培養學生基本的數學活動核心經驗，一般要首先思考讓學生經歷直觀中的感性認識；對經驗已經達到相應直觀層面的學生，可思考對直觀中獲得的感性經驗進行感性概括；對已經達到感性概括經驗水平的學生，可考慮經歷初步的理性認識過程。通過直觀觀察、歸納猜想、初步驗證等，逐層獲得初步的理性經驗，進而獲得較高層面的理性知識。總之明確了學生基本的數學活動核心經驗的特征和通向深層知識學習的橋梁作用，我們就會找到“基本的數學活動經驗”教學的主要目標和突破口。

參考文獻：

[1]馮忠良.智育心理學[M].北京：教育科學出版社，1981.

[2]張奠宙，竺仕芬，林永偉.“基本數學經驗”的界定與分類[J].數學通報，2008（6）.

[3]史寧中，郭玉峰.“數學基本活動經驗” 研究：內涵與維度劃分[J].教育學報，2012（10）.

[4]李光樹.小學數學學習論[M].北京：人民教育出版社，2014.

（黑龍江省七臺河市教育研究院 154600）endprint