“多元表征”促進百分數意義的概念性理解

朱德江+王建良+王榮

“學為中心”的課堂，需要關注學生的學習起點，關注學生的學習方式，關注學生的學習過程，關注學生的思維特征，促進學生學習的真實發生。特級教師朱德江及其團隊一直致力于“學導課堂·深度學習”的研究，本期特刊發其團隊的研究成果“基于學生研究的學習方式與過程”的相關文章，以供大家討論。

【摘 要】概念的深刻理解需要經歷“有過程的學習”。“百分數意義”的教學中，可以引導學生結合具體情境和已有經驗，用多種表征方式表達對百分數的理解，特別是對兩個量的關系用語言描述、假設舉例說明、畫圖表征等多個維度進行解釋，可以有效促進百分數意義的概念性理解。通過對學生學習單的對比研究，也可以發現，這一方法的運用也有助于看到學生知識的增長和發展的過程。

【關鍵詞】多元表征 學習方式 概念性理解 百分數意義

“百分數的認識”是一節“數的認識”概念課。百分數意義的理解是教學的核心，理解百分數的意義的關鍵是什么，是讓學生按“百分數表示（ ）是（ ）的百分之（ ）的數”固定格式表述，還是結合具體情境讓學生自己用多元方式表述對百分數的理解？從以往教學實踐看，很多學生即使會用“男生人數是總人數的60%”“出勤人數是總人數的98%”這樣的語言來說明百分數的意義，但學生的理解還是不深入的，達成的是概念的操作性理解（描述性理解）。如何促進學生對百分數意義的概念性理解（關系型理解），我們認為，重點在于讓學生結合具體情境和已有經驗，用多種表征方式表達對百分數的理解，特別是能對兩個量的關系用語言描述、假設舉例說明、畫圖表征等多個維度進行解釋，能有效促進百分數意義的概念性理解。

在北師大版六年級上冊“認識百分數”的教學中，結合教材問題串3提供的生活中的百分數的兩個實例（即“第六次人口普查結果表明：目前我國男性人口約占總人口的51%”“今天全校學生的出勤率是95%”）同構設計兩份“學習任務”（用“學習單”的方式呈現），在“學習任務”中作了三個維度多元表征百分數意義的提示，引導學生從多個角度表達自己對百分數意義的理解。兩次學習任務，都是讓學生結合具體情境和已有經驗，通過引導學生用假設總人數舉例、畫圖、根據百分數與分數的關系語言描述等方式多元表征百分數的意義，用自己的語言表達對百分數本質的理解，反映學生對百分數意義理解的現實情況，有效促進百分數概念內化的過程。

[學習單1：

第六次全國人口普查結果表明，目前我國男性人口約占總人口的51%。

“51%”這個百分數表示什么意思？請試著從以下幾個不同的角度來解釋。

1.先假設總人數。

2.畫圖。

3.根據百分數與分數的關系。]

[學習單2：

今天全校學生的出勤率是95%。

“95%”這個百分數表示什么意思？請試著從以下幾個不同的角度來解釋。

1.先假設總人數。

2.畫圖。

3.根據百分數與分數的關系。]

百分數的意義理解與分數是一致的，所以對于學生而言，對51%的理解是有知識基礎的，也是有生活經驗的。但學生的基礎到底在哪里，不同層次的學生對百分數理解又有什么不同之處？在學習單1中，讓學生去解釋“男性人口約占總人口的51%”，通過三個維度讓學生進行解讀，根據實際情況進行課堂教學。在此基礎上“學習單2”再次讓學生解釋“出勤率是95%”是什么意思，用相同的方式去了解學生的實際情況，這樣做的目的是更有效地進行對比分析，了解學生的學習進展情況。

在上述教學與研究過程中，“學習單”既是學生學習過程中的操作單，也是研究學生學習過程的重要工具，通過“學習單”能分析學生對這類問題的原始思維狀態，分析學生知識理解的水平層次等。通過教學之前和教學之后“學習單”數據的整理和分析，再來回顧研究課堂行為，可以發現從第一次學生表達后的跟進教學，到第二次學生的獨立表達，學生在對百分數意義的理解上存在顯著差異，下面從三種百分數的表征方式來分析學生學習過程的特征及學習進階情況。

一、從“假設總人數”的角度表征和理解百分數

（一）學生的兩次表征理解情況統計

學習單1“理解正確，表述不完整”典型作品：

[“51”這個百分數表示什么意思？

（1）先假設總人數。

答假設有1000個人]

學習單1“理解正確，表述完整”典型作品：

第一類：假設成“總人數為100人，男性有51人”。有16人。

第二類：用算式計算的有5人。

學習單2典型作品：

（三）學習單1、2對比及課堂行為分析

從學習單1的統計數據上我們可以看出，雖然能正確表述且完整的學生占60%，但表述不夠規范，理解的層次更多地停留在一個面上，就是“假設有100人，51人是男性”，不再往其他方向進行拓展。20%的學生只對總人數進行了假設（例如假設總人數有100人，或者假設總人數有1000人），并沒有對男性人數的具體數量作出說明，也就是“回答問題的具體指向不清晰、不完整”。還有20%的學生還不會用假設具體數量的方式思考問題。

基于這樣的學情，教師如何組織反饋，對促進學生對百分數意義的理解的發展非常關鍵，下面是具體的教學過程。

師：誰來說一說這個百分數表示什么意思？

生1：如果把總人數比作100%，然后把100%化成分數就是[100100]，這個51%就是[51100]。

師：你聽懂他說的意思了嗎？他在說，這個百分數和分數是一樣的，51%和[51100]是一樣的。這是一個解釋，還有嗎？

生2：這個表示100個人里面有51個人是男的。

師：聽明白嗎？他想說什么？

生3：他假設全國人口為100人，男性占總人口的51%，100人的51%就是51人。

師追問生3：100人里有51人，那200人呢？

生3：102人。

師：還可以怎么假設？

生4：還可以假設總人數為300人，那么男性就有153人，如果總人數400人，那么男性就有204人……

師：他想表達什么意思？你能用一句話來說嗎？

生5：也就是每100人里就有男性51人。

師：非常好，剛才幾位同學都在舉例說明這個百分數。也就是說每100人里面，男性有51人，每200人里面，男性有102人。

……

從上述教學過程，可以看到教師并沒有停留在僅僅假設總人數，追問總數為100人，總數為200人、1000人的情況，而是希望學生體會對“每100人里有幾個男性”的理解，這是兩種對百分數理解的不同層次。在反饋交流的過程中特別注意讓一個人能有多個舉例的過程，逐步形成“每100人就有51人是男性”的體驗。經過這樣的教學過程，學生在原來基礎上進行推算，在“學習單2”中，讓學生解釋“出勤率95%”什么意思時，學生“理解正確，表述完整”的比例有了較大提升，“理解錯誤”的基本沒有了。而且，語言表述中，從百分數意義本質上解釋的多了，如：“如果有200人，就有190人出勤”“如果有1000人，有950人出勤”，還有“每100人中，出勤人數是95人”（如圖）。這樣的語言表述，可以看出學生對于“出勤率95%”是真正理解了。

二、用“畫圖”表征和理解百分數

（一）學生的兩次“畫圖”表征理解情況統計

（二）學生的典型作品

學習單1“理解正確，圖示不完整”典型作品：

第一類：未畫完。

第二類：全部用具體數據。

第三類：總人數用100人，51%表示男性部分。

學習單1“理解正確，圖示完整”典型作品：

第一類：畫餅圖。

第二類：畫線段圖。

□表示出總人數、男性、女性人口。

□表示出總人數和男性人口。

（1）用100%表示總人數，51%表示男性人口。

（2）用“1”表示總人數，51%表示男性人口。

（3）用51%表示男性人口。

學習單2典型作品：

（三）學習單1、2對比及課堂行為分析

圖式表達比較直觀，也是學生比較喜歡的表達方式。“學習單1”第一次讓學生用“畫圖”表示自己對百分數意義的理解，“理解正確，能用圖表達”的學生達到了91.4%，只有三位學生不能正確用“畫圖”進行解釋。但從課堂上的學生作品看，只有40%的學生能準確、完整表達出“百分數51%”的意義，有51.4%的學生所畫的圖不完整或表述的意義不到位，很多學生畫的圖是以總數100人為基礎畫的，而不是100%或“1”，從而，一方面反映出學生對百分數意義的理解還是不深刻的，另一方面也顯示出學生還不會準確、完整地用圖表示意義。

基于這樣的學情，教師組織反饋著力點就是引導學生準確、完整地用圖表示百分數的意義，并促進對百分數意義的深刻理解。在實際教學中該教師分三步反饋學生的作品：第一步，呈現用具體人數的，引導學生討論完善；第二步，呈現一幅不完整的，再一步步進行完善；最后，呈現幾幅畫得比較好的，讓學生進一步感悟。

通過呈現學生不完整的作品，引導學生對這樣的作品進行修正，學生經歷了多次“補圖”的過程，其實就是經歷多次完善畫圖的過程，對學生來說是多次深刻的體驗，促進學生的理解由淺顯到深入，思考由不完整到逐步完整。在學習單2的調查中，可以看到有85.7%的學生已經能“正確、完整”地用“畫圖”的方式解釋百分數，與教學之前的40%相比，已經有了很大的提高。

三、根據百分數與分數的關系用語言描述表征百分數

（一）學生的兩次“語言表述”表征理解情況統計

（二）學生的典型作品

學習單1典型作品：

（三）學習單1、2對比及課堂行為分析

從學習單1的統計結果，可以看到讓學生根據百分數與分數的關系解釋百分數，也就是用分數的意義遷移到百分數的意義，能清晰地用語言表述的學生較少，只有8.6%的學生能夠進行正確且完整的表達（可能與提示語的表述學生不理解也有關），51.4%的學生考慮到了用分數意義的表述方式去解釋，但表述不清楚。

基于這樣的學情，教師如何組織學習，提供怎樣的學習支持？課堂教學中，教師注意追問“哪兩個量在做比較？”并通過板書引導：“（ ）是（ ）的51% ，也就是（ ）是（ ）的[51100]。”經過適當引導、交流后，從“學習單2”中可以看到，有60%的學生能準確用語言表述“出勤率95%”的意義了。

在上述三種表征方式的教學及對比研究中，可以看到學生能獨立嘗試從多個角度表達自己對百分數的理解，但存在理解不深刻、表述不完整等問題，需要教學的進一步跟進，如采用“分步呈現典型材料、組織學生反思交流討論、利用關鍵語言引導”等教學策略，促進學生的理解。另外，通過“學習單1”和“學習單2”同構式的對比，可以看到，通過一定方式學習支持和教學跟進，學生對百分數意義的理解有了變化，明顯地看到了學習增量與變化。

整節“認識百分數”的教學課引導學生經歷了“情境問題，初步理解—多元表征，深化理解—聯系實際舉例”的教學過程，在這節課的教學過程中重視引導學生多元表征理解百分數的意義，為了了解學生對百分數意義的理解情況，在課后設計了三題后測題進行測試，具體測試結果如下。

后測題1：陽光小學的一項調查表明，近視的學生人數占全校人數的30%。這個百分數表示什么意思？請你從不同的角度來解釋，并把解釋記錄在下面。

答題情況與分析：本題沒有作具體的解釋角度的提示，但學生都能從不同的角度解釋30%的意義，35名學生中，有27人能從舉例說明、畫圖表示、說明數量關系三個角度進行解釋，有7人能從兩個角度進行解釋，只有1人的解釋是錯誤的。也就是有97.1%的學生已經理解了該百分數的意義，并能用不同的方法說明其意義，總體來說學習效果較好。

后測題2：根據國家健康體質測試標準，我校學生一分鐘跳繩達標率是97%?！?7%”這個百分數表示什么意思？請試著從以下幾個不同的角度來解釋。（1）假設總人數；（2）畫圖；（3）根據百分數和分數的關系；（4）97%是怎么算出來的。

答題情況與分析：本題從四個角度提示學生解釋自己對百分數的理解，其中前三個角度是課堂教學中出現過的，學生“正確理解、表述完整或基本完整”的都在90%以上。而第四個“怎么算出來的”的角度是新的，看看學生能否從新的角度理解百分數，結果有31人“理解正確，并能完整表述”，占總人數的88.6%。學生的想法有很多：有用具體數量相除的，有用達標人數÷總人數的，有用“100%”-“未達標率的”，方法的多樣性，從中可以看出學生對百分數的理解已經比較深入了。

后測題3：你在生活中還見過哪些百分數？分別是什么意思？（提示：舉例后，要寫一寫這個百分數的意思）

答題情況與分析：自己舉例并解釋，從答題情況能舉出百分數例子的有31人，其中19人能完整解釋自己舉的例子，還有12人解釋不是很清晰或不夠完整（其中一部分是因為學生舉的例子不常見或對數量關系不熟悉，而導致解釋不清）。下面是幾位學生的答題情況：

上面三道后測題的結果顯示，多元表征百分數的意義有利于學生對百分數的理解。經過“認識百分數”一節課的教學后，學生對百分數的意義有了較深的理解，能從假設總人數舉例說明、畫圖、根據和分數之間的關系用語言表述等不同角度去解釋百分數，初步實現百分數意義的概念性理解。

（浙江省嘉興市南湖區教育研究培訓中心 314000 浙江省嘉興南湖國際實驗學校 314000）