涉及高階導數分擔值的亞純函數正規族

呂鳳姣，劉芝秀

(1.黃河科技學院信息工程學院，鄭州450063；2.南昌工程學院理學院，南昌330099)

涉及高階導數分擔值的亞純函數正規族

呂鳳姣1，劉芝秀2

(1.黃河科技學院信息工程學院，鄭州450063；2.南昌工程學院理學院，南昌330099)

正規族理論的發展經歷了利用Nevanlinna值分布理論和L.Zalcman引理簡化許多通過大量消去原始值而得到正規定則證明的過程，同時也建立了一系列新的正規定則。把亞純函數正規族與分擔值或分擔集合結合起來考慮是亞純函數正規族理論研究的一個重要課題。目前正規族的相關理論在復動力系統、復微分方程、模分布和整函數唯一性等方面都有著重要的應用。文章主要探討了亞純函數的值分布理論，利用L.Zalcman引理研究了一類涉及高階導數分擔值的亞純函數族的正規性問題，推廣并改進了已有的結果。主要結果為：設F是區域D上的一亞純函數族，k為正整數，a為非零有窮復數，若對任意的f(z)∈F，有f(z)-a的零點重級至少為k+1，且f(z),f(k)(z)與f(k+1)(z)IM分擔a，則F在D上正規。

亞純函數；高階導數；分擔值；正規族

引言

設f(z)為開平面上非常數的亞純函數，采用值分布論中的相關記號[1-2]，在此給出相關的定義。

設D為復平面C上的區域，F為定義在區域D內一族亞純函數，稱F在區域D上正規，是指亞純函數族F中每一個函數序列{fn(z)}(n=1,2,…)均可以選出一個子序列{fnk(z)}(k=1,2,…)在區域D上按球面距離內閉一致收斂于一個亞純函數或者恒為無窮。

稱F在區域D上一點z0正規是指，F在z0的某個領域內正規。可知，F在區域D上正規等價于F在區域D上每一點都正規。

設f(z),g(z)為區域D上的兩個亞純函數，對復數a∈C，若f(z)-a的零點為zn(n=1,2,3,…)，如果zn(n=1,2,3,…)也是g(z)-a的零點(不計重數)，則稱單向分擔a，記為f(z)=a?g(z)=a。

把亞純函數正規族與分擔值或分擔集合結合起來考慮是由W.schwick在1992年首先開始研究，之后國內外許多學者都對這方面進行了深入的研究，其成果有：

定理1[3]設F={f(z)}是單位圓盤Δ上的亞純函數族，a1,a2,a3是三個不同的復數，如果對每個f∈F，f與f′同時分擔值a1,a2,a3，則F在Δ上正規。

定理2[4]設F是D上的一亞純函數族，a和b是兩個不同的復數，如果對任一f∈F，f(z)與f′(z)在D內IM分擔a,b，則F在D內正規。

定理3[5]設F是區域D上的解析函數族，a和b是兩個相互判別的非零有窮復數，如果對?f∈F，有f(z)=a?f′(z)=a，f′(z)=b?f″(z)=b，那么F在D內正規。

文獻[5]在定理3的后面，提出一個問題：該定理對亞純函數族是否成立?

2013年，文獻[6]將解析函數族推廣為亞純函數族，并將f′推廣為f(k)，得到了如下兩個結論。

定理4設F是區域D上的亞純函數族，且a和b是兩個相互判別的非零有窮復數，如果對?f∈F，f(z)的零點重級至少為2，且f(z)=a?f′(z)=a，f′(z)=b?f″(z)=b，那么F正規。

定理5設F是區域D上的亞純函數族，且a和b是兩個相互判別的非零有窮復數，k是一個正整數。如果對?f∈F，f(z)的零點重級至少為k+1，且f(z)=a?f(k)(z)=a,f(k)(z)=b?f(k+1)(z)=b，那么F在D內正規。

但是，在上述定理中有兩個分擔值，能否把f′推廣為f(k)的同時，將分擔值的個數減少為一個呢?本文證明了下述定理。

定理6設F是區域D上的一亞純函數族，k為正整數，a為非零有窮復數，若對任意的f(z)∈F，有f(z)-a的零點重級至少為k+1，且f(z),f(k)(z)與f(k+1)(z)IM分擔a，則F在D上正規。

文獻[7-8]舉例說明了定理中的條件“函數的零點重級至少為k+1”是必須的，此例也說明了定理6中的條件“f(z)-a的零點重級至少為k+1”是必須的。

1 引理

引理1[9](Zalcman引理)設k為正整數，F是單位圓盤Δ上的亞純函數族，f的零點重級均≥k，極點重級均≥j，那么F在Δ上不正規的充要條件是：對?α∈(-j,k)，存在函數列fn∈F，點列zn∈Δ，正數列ρn→0，使得函數列

在復平面上按球距內閉一致地成立。

這里g(ζ)為復平面上的一個亞純函數，其零點(極點)重級均≥k(j)，且g#(ζ)≤g#(0)=1。

注這是Zalcman引理的推廣，亦稱為Zalcman引理，其中，當k=1,j=1,α=0時是Zalcman最先的結果。上面的形式是經龐學誠[10]，Schwick[11]，陳懷惠和顧永興[12]推廣而得到的。

本文常用的Zalcman引理是龐學誠和Zalcman對上面的結果所做的進一步的推廣。

引理2[13](Pang-Zalcman引理)設k為正整數，F是單位圓盤Δ上的亞純函數族，f的零點重級至少為k，假設存在A≥1，使得當f(z)=0時，有|f(k)(z)|≤A對?f∈F都成立。如果F在單位圓內不正規，則對0≤α≤k，存在正數r,0

在復平面上按球距內閉一致地成立。這里g(ζ)為復平面上的一個非常數亞純函數，其零點重級至少為k，且g#(ζ)≤g#(0)=kA+1。特別地，g(ζ)的級至多為2。

引理3[14]設函數序列{fn(z)}在區域D內解析，并且在D內閉一致收斂到一個不恒為零的函數，γ是D內可求長的閉曲線，其內部屬于D，且不經過f(z)的零點，則存在正整數N，使得當n≥N時，在γ內部，fn(z)和f(z)的零點個數是相同的。

引理4[15-16](Hayman不等式)設f(z)是一個亞純函數，a為非零復數，k為正整數。若f(z)≠0,f(k)(z)≠a，則f(z)是一個常數。

2 定理6的證明

證明假設F在D上不正規，不失一般性，由引理2得：

按球面距離內閉一致收斂，這里g(ξ)是復平面C上的非常數亞純函數，且滿足g(k)(ξ)≤g(k)(0)=k(|a|+1)+1。

證明g(k)(ξ)≠a,g(ξ)≠0。先證g(k)(ξ)≠a。

所以ξ0是g(k)(ξ)的a-值點，是重級的。

假定ξ0是g(k)(ξ)的l重a-值點(l≥2)，則g(k+l)(ξ0)≠0，從而存在δ>0，當|ξ-ξ0|<δ時，有

g(k+l)(ξ)≠0

(1)

所以這l個a-值點均是單級的。即當i≠j時，ξni≠ξnj。所以g(k+l)(ξ0)=0，這與式(1)矛盾。

因此g(k)(ξ)≠a得證。

再證g(ξ)≠0。

假設存在ξ0，使g(ξ0)=0。由Hurwitz定理，存在ξn，ξn→ξ0，當n充分大時，有

根據引理4得，g(ξ)是一個常數。這與假設相矛盾。從而定理6得證。

目前，正規族的相關理論在復動力系統、復微分方程、模分布和整函數唯一性等方面都有著廣泛的應用。另外，將正規族理論應用到亞純函數唯一性的研究中，已取得了一些很好的結果。

[1] 楊樂.值分布論及其新研究[M].北京:科學出版社,1982.

[2] LIU X J,LI S H,PANG X C.A normal criterion about two families of meromorphic functions concering shared values[J].Acta Mathematica Sinica,English Series,2013(1):151-158.

[3] SCHWICK W.Sharing values and normality[J].Arch Math,1992,59:50-54.

[4] PANG X,LAWRENCE Z. Normality and shared values[J].Arkiv for Matematik,2000,38:171-182.

[5] 顧永興,龐學誠,方明亮.正規族理論及其應用[M].北京:科學出版社,2007.

[6] 段曦盛,謝莉.分擔值與亞純函數的正規性[J].數學物理學報,2013,33A(2):242-245.

[7] ZHANG G M,PANG X C,ZALCMAN L.Normal families and omitted functions II[J].Bull London Math Soc,2009,41:63-71.

[8] 王雪琴.亞純函數的分擔值與正規族[J].數學物理學報,2014,34A(4):1008-1013.

[9] ZALCMAN L.A heuristic principle in complex function theory[J],Ame Math Mont,1975(82):813-817.

[10] PANG X.Blochs principle and normal criterion[J].Sci China Ser A,1989(32):782-791.

[11] SCHWICK W.Normality Crietion for families of meromorphic functions[J].Anal Math,1989,52:241-289.

[12] 陳懷惠,顧永興.Marty定則的改進及應用[J].中國科學A輯,1993,23(2):123-129.

[13] 龐學誠.亞純函數的正規族與正規函數[J].數學年刊A輯,2000(5):601-604.

[14] 方企勤.復變函數教程[M].北京:北京大學出版社,1996.

[15] HAYMAN W K.Picard Value of Meromorphe functions And Their Derivatives[J].Annals of Mathematics,1959,70:9-42.

[16] LI S,GAO Z.Results on a question of Zhangand Yang[J].Acta Math Sci Ser B Engl Ed,2012,32:717-723.

NormalFamiliesofMeromorphicFunctionsInvolvingHigherDerivativeSharingValues

LVFengjiao1,LIUZhixiu2

(1.Collge of Information Engineering, Huanghe Science and Technology College, Zhengzhou 450063, China;2.College of Science, Nanchang Institute of Technology, Nanchang 330099, China)

The development of the normal family theory has undergone the process of using Nevanlinna value distribution theory and L.Zalcman lemma to simplify many formal rules proving that large numbers of original values are eliminated. A series of new normal rules are also established. It is an important subject for the study of the normal family theory of meromorphic functions to combine the normal families of meromorphic functions with the shared values or the shared set. At present, the theory of normal families have important applications in complex dynamical systems, complex differential equations, module distribution and the uniqueness of entire functions. The value distribution theory of meromorphic functions is mainly discussed, and the normality of meromorphic functions related to higher order derivative sharing values is studied by using the L.Zalcman lemma, which improved the existing results. Main results are as follows: LetFis families of meromorphic functions onD.Letkis a positive integer andais non-zero finite complex number. If for everyf∈F, zero magnitude off(z)-aof at leastk+1, andf(z),f(k)(z) andf(k+1)(z) share a with IM, thenFis normal onD.

meromorphic function; higher derivative; shared values; normal family

O174.52

A

2017-07-12

國家自然科學基金項目(U1304102)；鄭州市科技局基金項目(20141375)；南昌工程學院青年基金項目(2014KJ025)

呂鳳姣(1983-)，女，河南商丘人，講師，主要從事復分析方面的研究，(E-mail)lvfengjiao_2008@163.com

1673-1549(2017)05-0079-04

10.11863/j.suse.2017.05.14