高中數學解題中“輔助元”的構造研究

◆盧亦思

高中數學解題中“輔助元”的構造研究

◆盧亦思

在對高中題目進行解答的過程中，根提題干的類型運用合適的解題方法，能夠在最大的程度上提高解題的效率。本文主要對數列、函數、圖形等輔助元在數學題目解答當中的運用進行了研究和分析，以此提高解題的效率。

高中數學；輔助元；構造；解題

一、數列輔助元在高中數學解題過程中的運用

在高中數學知識學習的過程中，采用數列輔助元對數學問題進行求解是常用的方法之一。通過數列輔助元的運用，可以將復雜的題目化簡，學生在解題的過程中就能夠很好的掌握相關的數量關系，提高學生解題的效率。

在對數列輔助元進行構造的時候，首先就應該對通項公式進行化簡。在化簡的過程中，學生可以根據題干所給出的已知條件，同時結合題干，找出他們之間的內在關系，進而展開消元或者是變形。最后運用數學當中的化歸思想或者是待定系數法等相關的解題思路，將原通項公式構造成等比或者是等差數列，以此來達到化簡求解的目的。在數列輔助元的構造當中，主要有以下幾種題目類型：第一就是在借助曲線上的點對數列輔助元進行構造。第二就是在通項公式當中，如果兩個以上相鄰的項存在著地推的關系，那么就可以采用待定系數法將數列輔助元化簡成為一個等比數列，然后就可以快速解答出相應的結果。第三就是根據已知條件以及題干的關系，找出合適的解題方法。

二、函數輔助元在高中數學解題過程中的運用

函數一直都是高中數學學習當中的重點，同時也是難點。在眾多題型的解答過程中，都會用到函數及其相關的知識點，根據題干所給出的已知條件，對函數輔助元進行構建，同時運用函數的基本性質結合原題干進行相應作答。這樣就會大大提高解題的效率。在平時的學習過程中，學生可以借助相關的練習題全面掌握函數輔助元構建的技巧，通過對函數輔助元的構建來解決不等式或者是方程問題。

已知：

根據題干證明：4tanα+cotβ=0。

在對這道題進行解答的時候，如果單純的將這道題當成是三角函數的問題，然后在解題的過程綜合運用引導公式等方法進行解答的時候，學生就會陷入知識的誤區，無法求出正確的答案。

學生仔細觀察過后就會發現，如果將4tanα+cotβ轉化成為（3tanα+cotα)+tanα，那么題目當中給出的已知條件：

就會轉化成為：(3tanα+cotβ)3+(3tanα+cotβ)+tan3α+tanα=0，進一步分析就可以打得出在R上，f(x）=x3+x是單調遞增的函數，而且還是奇函數，所以在這樣的情況住下，就可以將：

(3tanα+cotβ)3+(3tanα+cotβ)+tan3α+tanα=0

進一步轉化成為：f（3tanα+cotβ）=-f（tanα）=f（-tanα），最后根據函數單調性的特點就可以得出3tanα+cotβ=-tanα。

所以，4tanα+cotβ=0。

三、圖形輔助元在高中數學解題過程中的運用

學生在對高中數學相關知識進行學習的時候，將圖形與數量關系充分結合起來對相關的問題進行解答是學生必須掌握的一種解題思路以及解題方法，通過將圖形與數量關系相結合，能夠對復雜的數量關系化簡，從而提高解題的效率。在解題的過程中運用圖形輔助元的解題方法，能夠根據數量關系或者是根據數量關系對題目的模型進行構建，比如圓、多邊形等，學生借助自己熟悉的圖形對一些數量關系復雜的問題進行求解，不僅能夠將復雜的題目化簡，提高解題的效率，同時學生學習的信心也會得到有效的提高。

有三個銳角α、β、γ，cos2α+cos2β+cos2γ=1，根據已知條件求出tanα*tanβ*tanγ的取值在什么范圍之內。

這是一道典型的三角函數題型，如果學生在解答的過程中直接采用三角函數相關的知識點對問題進行作答，就會造成解答過程復雜，甚至可能會陷入思維誤區，造成無法解答出正確的答案，所以在這樣的情況下，可以借助圖形輔助元的構建對相關的問題進行解答（如下圖）。

圖1

就可以得出 tanα*tanβ*tanγ的取值范圍是。所以在這樣的情況之下，通過對圖形輔助元進行構造，就能夠將函數的數量關系簡單的表示出來，在解題的過程中也會更加得心應手，同時解題的效率也會大大提高。

結束語

高中知識點的難度較大，同時題型的綜合性較強。學生在解題的過程中不能僅僅依靠相關的定理或者是公式進行題目的解答，而是找出已知條件同題干的關系，同時對題干進行觀察，找出可以消元的可能性，將式子盡量化簡。最后就是根據題目問題的具體要求進行數列、函數或者是圖形輔助元的構建，從而有效解答出相應的問題。

[1]趙杰.高中數學解題中“構造法”的應用探討[J].華夏教師,2014,12:28.

（作者單位：長沙市雅禮中學）