高中數學中的直接證明與間接證明

◆馮震東

高中數學中的直接證明與間接證明

◆馮震東

掌握直接證明和間接證明的方法，針對性練習中提高思維能力，十分必要，本文結合高中數學的相關內容，探索了直接證明和間接證明。

數學；直接證明；間接證明

直接證明與間接證明出現在高中數學《推理與證明》當中，隨著高考改革的深入，以及新課標的修訂，2017年實施新的考試大綱。數學方面刪除了幾何證明選講模塊，增加了數學文化，對于學生來說并沒有太大區別，《推理與證明》依然是必考點，證明方面就是考察直接證明和間接證明。

一、直接證明

直接證明法是利用題目中的已知條件逐步推理證明命題成立的一種方法，它是典型的邏輯證明過程。直接證明方法中有兩種方法最為常用，即綜合法和分析法。

所謂綜合法就是根據題目條件，結合學過定理、公理、定義，一步步推導，結論與命題一致時，命題得證。

這兩種方法都是直接證明當中的常用方法，一般在解決證明問題時，通常先以分析法需求解題思路，然后利用綜合法展示解題思路，并表述解題過程。因為分析法有著比較明確的解題方向，方便面對問題時尋找解題思路，而綜合法條理清晰，可以很方便地進行表述。

圖1

該題目，用分析法或是綜合法都能解決。題目相對簡單，當然為了形成一定的思維邏輯，如上文所言，先利用分析法找思路，然后用綜合法表述出來。根據分析法的思維過程，要證明CE=DF成立，那么就需要證明?EOC?FOD，為了證明該命題成立，就需要證明CO=DO，EO=FO，∠EOC=∠ FOD。而要證明這三個條件成立，需要分別求證?ACO?BDO和AO=BO，而∠ EOC=∠ FOD因為兩個角為對頂角，必定相等。其中AO=BO則可以根據已知條件AE=BF，且?ACO?BDO即可得證，此時三個條件均已得證，?EOC?FOD成立，題目的命題也就得證。基于這個思維過程，利用綜合法將解題過程表述出來，步驟如下。

當然，這兩種方法也是可以分開用來解答同一個問題。

二、間接證明

間接證明是相對于直接證明來說的，通常的方法是反證法，即先假設一個和原命題相反的命題，然后證明假設命題，最后得出矛盾的結果。此時證明假設命題不為真，即可反向證明原命題成立。一般情況下，大部分證明問題都可以用直接證明的方法來求證，如果一些證明題中出現唯一、至少或至多又或者帶有否定性的命題，通常就需要利用反證法求證。

例1：設a，b為實數，那么方程x3+ax+b=0至少有一個實根，那么假設的命題是（ ）

A.方程x3+ax+b=0沒有實根

B.方程x3+ax+b=0至多有一個實根

C.方程x3+ax+b=0至多有兩個實根

D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個實根

該題目很簡單直接考查反證法的運用，此時需要考慮的是至少這個詞匯的反面，所以可以將至少有一個實根否定為沒有實根，答案顯而易見。

試證明：a，b，c至少有一個大于0。

結束語

高考中對猜想和證明的要求越來越高，在平常的學習當中就需要把握要點，回歸課本，加強訓練，尤其要重視思維訓練，題海戰術并不可取，應當著重訓練和提高抽象思維能力、直觀想象能力、邏輯分析能力等，有目的地選擇題目來進行練習提高。

[1]李維佳.淺析中學數學命題教學中應注意的問題[J].教育教學論壇,2013,33:113-114.

（作者單位：湖南省長沙市第一中學）