一道2016阿塞拜疆奧賽試題下界再探

陳 宇

江蘇省姜堰中等專業學校 (225500)

一道2016阿塞拜疆奧賽試題下界再探

陳 宇

江蘇省姜堰中等專業學校 (225500)

文[1]中，對一道2016阿塞拜疆奧賽試題：

經過一番探究，筆者發現，不等式(3)可繼續推廣且存在統一的下界.即

定理3 已知a,b,c是滿足ab+bc+ca=3的正數，λ>0，則

文[1]已證明，當λ≥2時，不等式(4)右邊成立.

由此可知，定理3即不等式(4)右邊成立.

不等式(4)左邊?(4λ+9)[(a+b)2(b+c)2+(b+c)2(c+a)2+(c+a)2(a+b)2]+(8λ2+18λ)[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]+12λ3+27λ2>4(a+b)2(b+c)2(c+a)2+4λ[(a+b)2(b+c)2+(b+c)2(c+a)2+(c+a)2(a+b)2]

+4λ2[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]+4λ3?9[(a+b)2(b+c)2+(b+c)2(c+a)2+(c+a)2(a+b)2]+(4λ2+18λ)[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]+8λ3+27λ2>4(a+b)2(b+c)2(c+a)2(5).

由上可知(5)左邊>36(a+b+c)2(∵λ>0時，4λ2+18λ>0,8λ3+27λ2>0)

∴要證(5)成立，只需證9(a+b+c)2>(a+b)2(b+c)2(c+a)2,只需證3(a+b+c)=(ab+bc+ca)(a+b+c)>(a+b)(b+c)(c+a).

上式兩邊整理后得abc>0成立(∵a,b,c>0,).從而不等式(4)左邊成立.

筆者猜想，進一步，不等式(4)推廣為

(6)也應存在下界，然囿于自身的知識和能力，筆者無力確定不等式(6)理應存在的下界，遑論證明該下界.還望方家及愛好者不吝賜教.不失為引玉之法.

[1]王瀟軒.2016阿塞拜疆奧賽試題下界的下界估計[J].中學數學研究(江西),2017,4.