兩類數列不等式的證明探析

彭耿鈴

福建省泉州市第七中學 (362000)

兩類數列不等式的證明探析

彭耿鈴

福建省泉州市第七中學 (362000)

不等式的證明因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰性，能全面而綜合地考查學生的后繼學習潛能，因而成為高考試題考查的極好素材，倍受青睞.本文就此類題目進行總結梳理，希望讀者能決勝于高考.

一、對數型數列不等式的證明探析

例1 (2014年陜西理科卷)設函數f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x)(x≥0)，其中f′(x)是f(x)的導函數．

(Ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x))(n∈N+)，求gn(x)的表達式；

(Ⅱ)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數a的取值范圍；

(Ⅲ)設n∈N，比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明．

(Ⅰ)用a表示b,c；

(Ⅱ)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范圍；

小結：在證明對數型數列不等式，其常用的證明方法是設數列不等式的左、右兩邊分別為Sn、Tn，只要控制Sn的通項an大于或小于Tn的通項bn即可，而證明an>bn(an

二、常數形數列不等式的證明探析

例3 (2014年新課標全國Ⅱ卷)已知數列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.

(Ⅰ)若x1,x3,x5成等比數列，求參數λ的值；

總結：在證明常數形數列不等式，其常用的證明方法是構造一個小于或大于不等式的右邊常數的數列和Tn，只要控制不等式左邊的通項an大于或小于Tn的通項bn即可.