研究性公開課的實踐和思考

沈 軍

江蘇省揚州中學 (225009) 戚有建江蘇省高郵中學 (225600)

研究性公開課的實踐和思考

沈 軍

江蘇省揚州中學 (225009) 戚有建江蘇省高郵中學 (225600)

隨著高中數學新課改的推進，“研究性學習”的觀念越來越得到大家的認可，作為一線教師，筆者也在努力創造研究性學習的實踐機會.筆者發現，在課堂教學中進行研究性學習，既能提高課堂效率，提高學生的學習成績，又能逐步改變學生的學習方式，提高學生的學習興趣，提高學生的創新精神和實踐能力．前不久，應江蘇省濱海中學所邀，筆者去濱海中學上了一節研究性公開課，下面是本人這次公開課的教學過程和教學感想．

一、問題引入

圖1

問題如圖1，在ΔABC中，AB=2x,AC=x,BC=6，求ΔABC面積的最大值．

點評:解法1是處理最值問題的通法，即構建目標函數求最值，多數學生能想到這種解法，教學中可探討：求哪個角的余弦值好？很多學生求的是cosA，實際上求cosC更好，因為cosC的表達式更簡單些，另外，教學中，有少部分學生打算作高(例如AD)然后用勾股定理求高從而求三角形面積，這種想法也可以，但是要按照D點在線段BC上還是在線段BC的延長線上討論處理．

圖2

解法2(借助A點軌跡求最值) 如圖2，以BC所在直線為x軸，BC的中點為坐標原點，建立坐標系，則B(-3,0),C(3,0)，設A(x,y)，由AB=2AC，得(x-5)2+y2=16，所以A點的軌跡為圓(去掉與x軸的交點)，不難發現，當A(5,±4)時，三角形的高最大，對應的面積最大，所以ΔABC面積的最大值為12．

點評:解法2實際上是用方程來研究曲線，即用坐標法來研究動點A的軌跡，只要將幾何關系AB=2AC坐標化即得圓的方程(x-5)2+y2=16，“圓”來如此，直觀形象，充分體現了解析法的基本思想，下面很容易發現三角形高的最大值就是圓的半徑，從而很容易求得三角形面積的最大值.通過解法2很自然就能引出這節課的主題——阿波羅尼斯圓．

二、知識構建

1．阿氏圓定義

圖3

2．命題結構

三、變式研究

變式1 在ΔABC中，AB=AC,D是AC中點，

分析:先考慮ΔABD面積的最大值，因為AB=2AD，所以A點的軌跡為阿氏圓．

(答案:24.)

點評:變式1中用向量形式來呈現長度，需要學生能挖掘出題目中隱含的阿氏圓并用來解決問題．另外，從變式1出發，也可以讓學生自己進行變式編制習題(要盡量將變式的權利交給學生，讓學生自己去變，在變中體會不變)，教學中，很多學生編制了下面的變式2．

分析:先考慮ΔABD面積的最大值，因為AB=3AD，所以A點的軌跡為阿氏圓．

點評:教學過程中，可以探討：能否不求出阿氏圓的方程就能知道阿氏圓的半徑？實際上是可以的，因為在上面圖3中， 直徑MN的兩個端點M,N實際上是AB的兩個內外分點．

變式4 已知A(0,3),B(0,0)，圓C:(x-a)2+(y-2a+4)2=1上存在點P滿足PA=2PB，求a的取值范圍．

分析:在ΔPAB中，因為PA=2PB，所以P點的軌跡為阿氏圓，又因為P點在圓C上，所以問題轉化為阿氏圓和圓C有交點．

點評:本題是14年江蘇高考題，江蘇高考最近幾年多次考到阿氏圓，08年考到，14年又考到，命題專家為何對阿氏圓情有獨鐘呢？實際上通過阿氏圓是為了考查解析法的基本思想，即用方程來研究曲線．

四、逆向研究

如果交換條件和結論，就可以研究下列兩類問題：①③?②；②③?①．

答案:存在A(-2,0),B(4,0)或A(-6,0),B(-12,0)滿足要求.

答案:B(4,0).

點評:教學中，可以探討能否先猜出定點B的坐標，實際上是可以的，先借助對稱性可以確定定點B在x軸上，再特殊化處理，例如取P點為(0,0),

(-8,0)，從而求出點B的坐標為(4,0)，下面只要驗證B(4,0)符合要求，此時實際上也就是上面的變式5．

五、類比研究

阿氏圓與“距離之比為定值”有關，類似的我們可以聯想到“距離之和為定值”，“距離之差為定值”，或者“距離之積為定值”，所以就可以研究下面的問題．

變式8 在ΔABC中，AB=6-x,AC=2,BC=x，求ΔABC面積的最大值．

分析:在ΔABC中，因為BA+BC=6>2，所以B點的軌跡為橢圓(去掉左右頂點)．

變式9 在ΔABC中，AB=6+x,AC=10,BC=x，則ΔABC面積存在最大值嗎？

分析:在ΔABC中，因為BA-BC=6<10，所以B點的軌跡為雙曲線的一支(去掉頂點)

答案:無最大值.

點評:“距離之積為定值”的問題難度稍大，它與卡西尼卵形線有關，可以留給學生課后去研究．

一節課很快就結束了，這節課學生一直都沉浸在發現問題、提出問題、分析和解決問題的喜悅中，看到學生精彩的表現，看到學生滿意的眼神，回饋我的是欣喜、是思考．

六、教學反思

1.研究性課堂是實踐新課程理念的有效途徑

教學方式的轉變是新課程改革的本質要求，新課程強調，教師要更新教育觀念，改變教學方式，讓學生由被動學習轉變為主動學習，倡導通過各種不同形式的探究活動，讓學生親身體驗數學發現和創造的過程，培養和提高學生的創新能力.本節課中，教師由原來的知識傳授者轉變為學生學習的組織者、引導者、合作者與共同探究者，學生從原來的被動接受者轉變為主動探究者，體驗到了數學的樂趣、體驗到了探究的樂趣、體驗到了成功的樂趣.

2.研究性課堂可以從問題開始

問題是思維的動力，一個有價值的問題是研究性課堂成功的前提.這個問題要具有以下特征：①問題要有一定的知識容量，涉及到的知識面要寬、思想方法要多；②問題要具有層次性，可供不同水平學生作不同層次的探究；③問題要具有開放性，探究的過程和結果豐富多彩；④問題要具有沿展性，可供學生發現新問題作進一步的探究.波利亞也說過“一個好的教師能夠拿出一個有意義的題目，去幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域”.

3.研究性課堂中要放手讓學生去自主探究、去體驗(成功和失敗)