2017年模擬考試中一道導數題的解法研究*

白亞軍

甘肅省永昌縣第一高級中學 (737200)

2017年模擬考試中一道導數題的解法研究*

白亞軍

甘肅省永昌縣第一高級中學 (737200)

一、試題呈現

已知函數f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a，其中a>0．

(1)設g(x)是f(x)的導函數，討論g(x)的單調性；

(2)證明：存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0在區間(1,+∞)內恒成立，且f(x)=0在區間(1,+∞)內有唯一解．

分析:本題主要考查導數的運算、導數在研究函數中的應用、函數的零點等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創新意識，考查函數與方程、數形結合、分類與整合、化歸與轉化等數學思想．本題在閱卷過程中，發現學生有以下六方面的錯誤:

1.求導不熟，比如乘法法則、分式求導；

2.運算能力不強，對函數式亂變形、一元二次方程求根公式亂寫、亂約分；

3.對參數的處理能力不夠，分類討論的思想還不到位；

4.研究函數時沒有注意函數的定義域；

5.多個同類單調區間亂表達；

6.第二個小題基本沒有做，入手較難．

當a=a0時，有f′(x0)=0,f(x0)=0,由(Ⅰ)知，f′(x)在區間(1,+∞)上單調遞增.故當x∈(1,x0)時，f′(x)<0，從而f(x)>f(x0)=0;當x∈(x0,+∞)時，f′(x)>0，從而f(x)>f(x0)=0.所以當x∈(1,+∞)時，f(x)≥0.

綜上所述，存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0在區間(1,+∞)內恒成立,且f(x)=0在區間(1,+∞)內有唯一解．

綜上所述，存在a=a1∈(0,1)，使得f(x)≥0在區間(1,+∞)內恒成立,且f(x)=0在區間(1,+∞)內有唯一解．

綜上所述，?a=a0∈(0,1)，使得f(x)的最小值為0．此時f(x)≥0在區間(1,+∞)內恒成立,且f(x)=0在區間(1,+∞)內有唯一解．

綜上所述，?a=a0∈(0,1)，使得f(x)的最小值為0．此時f(x)≥0在區間(1,+∞)內恒成立,且f(x)=0在區間(1,+∞)內有唯一解．

二、 教學建議

高考中的壓軸題在素材選擇、情景設置和設問方式上每年有所創新，基本都會考查二階導數和分類討論，考查學生的探究意識，應用意識和創新意識，對考生綜合與靈活運用所學數學知識、思想方法，進行獨立思考分析，創造性的解決問題有較高且合理的要求．

同時壓軸題對數學思維的靈活性、深刻性、創造性都有較高要求，具有一定的難度，解答這些問題，需要具有較強的分析問題、探究問題和解決問題的能力．展示了數學學科的抽象性和嚴謹性，要求考生具有高層次的理性思維，考生解答時可以采用“聯系幾何直觀—探索解題思路—提出合情猜想—構造輔助函數—結合估算精算—進行推理證明”的思路，整個解答過程與數學研究的過程基本一致，能較好地促進考生在數學學習的過程中掌握數學知識、探究數學問題和發現數學規律．這些試題具有立意深遠、背景深刻、設問巧妙等特點，富含思維價值，體現了課程改革理念，是檢測考生理性思維廣度、深度和學習潛能的良好素材．這樣的設計，對考生評價合理、科學，鼓勵積極、主動、探究式的學習，有利于引導中學數學教學注重提高學生的思維能力、發展應用意識和創新意識，對全面深化課程改革、提高中學數學教學質量有十分積極的作用．

高考中的壓軸題第1小問一般主要考查分類與整合的數學思想與方法．它是考試的必考點，同時也是學生解題的難點和易錯點．就其原因，根本是沒有想通為什么需要討論，所以我們在平時的教學中，注意學生基本功的訓練和過手，要經常進行不帶參數和帶參數的同一個問題的切換，讓學生深深地體會到分類討論是在“自然而然”中誕生的，而不是很勉強的，能避免則避免，有時是“無奈之舉”.就此題而言，討論“單調性”可化歸為“解不等式”，最終是解“一元二次含參不等式”．走啊走，走到“Δ”這一關過不去了，非討論不可，一切都是在自然而然中悄悄發生，高考中的壓軸題第2小問是為優等生準備的“大餐”， 在處理時需要利用到主元轉換(因式分解功底強大的則無需)，后續操作則只需注意變量的取值范圍即可，此題需要考生強大的計算和心理承受能力，能明確自身目的所在，不至于在多重代換后迷失目標而功虧一簣．一般的學生是無福消受！所以在平時教學中對班上的優等生多加強一些思維訓練，多給他們思考的時間、空間．針對這樣的壓軸題，要有心里準備，集中精力盡量去完成，爭取多得分．

[1]張學忠,胡貴平.2016年全國高考導數題的幾種解法[J].數理化學習,2016(8):29-30.

[1]陸麗.例談不等式恒成立問題的解題策略[J].中學數學.2013(10):79-80.

*本文是甘肅省教育科學“十三五”規劃課題《“三段六環”數學課堂教學有效性的研究》的研究成果，課題批準號GS[2016]GHB1348.