圓錐曲線切點(diǎn)弦的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)
——對(duì)一道高考解幾試題的探究所得

陳學(xué)忠

福建省仙游第一中學(xué) (351200)

圓錐曲線切點(diǎn)弦的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)
——對(duì)一道高考解幾試題的探究所得

陳學(xué)忠

福建省仙游第一中學(xué) (351200)

2016高考全國卷Ⅰ文科試題題20是：

如圖1，在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y=t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y2=2px(p>0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連結(jié)ON并延長交C于點(diǎn)H.

(2)除H以外，直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說明理由.

這是一道難度適中內(nèi)涵豐富，值得深入探究的高考試題，本文擬對(duì)此進(jìn)行一番探究.

結(jié)論1.1 已知拋物線C：y2=2px(p>0)，過y軸上的點(diǎn)M且平行于x軸的直線與拋物線C、弦OH(O為坐標(biāo)原點(diǎn))分別交于點(diǎn)P、N，若MP=PN，則ON=NH，且直線MH與拋物線C相切于點(diǎn)H.

一、逆向探究：探究結(jié)論的逆命題

探究1 結(jié)論1.1的逆命題成立嗎？即若直線MH與拋物線C相切于點(diǎn)H，那么MP=PN且ON=NH能否成立？

結(jié)論1.2 已知拋物線C：y2=2px(p>0)，過y軸上的點(diǎn)M且平行于x軸的直線與拋物線C、弦OH(O為坐標(biāo)原點(diǎn))分別交于點(diǎn)P、N，若直線MH與拋物線C相切于點(diǎn)H，則MP=PN，ON=NH，且直線OH與拋物線C在點(diǎn)P處的切線平行.

二、縱向探究：把特殊弦“OH”換為拋物線C的任意弦“AH”

由點(diǎn)M在y軸上且原點(diǎn)O為拋物線C的頂點(diǎn)，易知MO為拋物線C在點(diǎn)O處的切線；反之，若直線MO與拋物線C相切于點(diǎn)O，則點(diǎn)M必在y軸上.故結(jié)論1.2可改述為

結(jié)論1.3 已知拋物線C：y2=2px(p>0)，過C外一點(diǎn)M且平行于x軸的直線與拋物線C、弦OH(O為坐標(biāo)原點(diǎn))分別交于點(diǎn)P、N，若直線MO、MH與拋物線C分別相切于點(diǎn)O、H，則MP=PN，ON=NH，且直線OH與拋物線C在點(diǎn)P處的切線平行.

探究2 上述結(jié)論中的弦OH是以拋物線C的頂點(diǎn)O為一個(gè)端點(diǎn)的特殊弦，如果把其推廣為拋物線C的任意弦AH，那么相應(yīng)的結(jié)論能否成立？

性質(zhì)Ⅰ 已知拋物線C：y2=2px(p>0)，過C外一點(diǎn)M且平行于x軸的直線與拋物線C、弦AH分別交于點(diǎn)P、N，若直線MA、MH與拋物線C分別相切于點(diǎn)A、H，則MP=PN，AN=NH，且直線AH與拋物線C在點(diǎn)P處的切線平行.

特別地，當(dāng)點(diǎn)A重合于原點(diǎn)O，則結(jié)論性質(zhì)Ⅰ即為結(jié)論1.3.

三、橫向探究：由拋物線到橢圓、雙曲線的探究

著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地成長，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近有好幾個(gè).”

探究3 結(jié)論Ⅰ揭示了拋物線C外一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)弦與過這點(diǎn)且平行于拋物線C的對(duì)稱軸的直線的內(nèi)在聯(lián)系，那么，橢圓、雙曲線是否具有類似性質(zhì)？

如果把結(jié)論Ⅰ 中“過點(diǎn)M且平行于x軸的直線”照搬到橢圓、雙曲線中，顯然行不通，這是因?yàn)閽佄锞€是無心曲線，而橢圓、雙曲線是有心曲線，其間似乎橫亙著一道不可逾越的鴻溝.難道“過點(diǎn)M且平行于x軸的直線”這一關(guān)于拋物線C的條件在橢圓、雙曲線中沒有共同的“語言”？

重新審視這一條件，如果把無窮遠(yuǎn)點(diǎn)看作拋物線C的中心，那么“過點(diǎn)M且平行于x軸的直線”就是“點(diǎn)M與拋物線C的中心的連線”.真是“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”！探究得以繼續(xù).

圖2

當(dāng)x1=x2時(shí)，弦AH垂直于x軸，點(diǎn)M、P、N在x軸上，上述結(jié)論顯然成立.綜上可得

AH于點(diǎn)P、N，若直線MA、MH與橢圓C分別相切于點(diǎn)A、H，則AN=NH，且直線AH與橢圓C在點(diǎn)P處的切線平行.

類似地，容易得到

綜合性質(zhì)Ⅰ、Ⅱ 、Ⅲ，可得關(guān)于圓錐曲線切點(diǎn)弦的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)：

統(tǒng)一性質(zhì)設(shè)AH為圓錐曲線C關(guān)于點(diǎn)M的切點(diǎn)弦，點(diǎn)M與曲線C的中心(對(duì)于拋物線，視無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為其中心)的連線交曲線C于點(diǎn)P(對(duì)于雙曲線，點(diǎn)P與切點(diǎn)弦AH在同一支)，則切點(diǎn)弦AH被該連線所平分，且切點(diǎn)弦AH所在的直線與曲線C在點(diǎn)P處的切線平行.

以上對(duì)一道高考試題進(jìn)行逆向、縱向、橫向探究，得到了圓錐曲線切點(diǎn)弦的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì).高考試題是命題者心血和智慧的結(jié)晶，是命題者留給我們的一筆寶貴“財(cái)富”.作為一線教師，要經(jīng)常研究高考試題，不僅要研究試題的解法，還要深入研究試題的背景，探索隱藏在試題背后的奧秘，發(fā)掘試題的內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律.只有這樣，才能領(lǐng)會(huì)到試題的深刻背景，才能胸有成竹，高屋建瓴，才能引領(lǐng)學(xué)生跳出題海，做到觸類旁通、舉一反三.也可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)試題進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生從試題出發(fā)，提出新的問題，探究新的結(jié)論，使學(xué)生經(jīng)歷在教師引導(dǎo)下的“問題—探究—發(fā)現(xiàn)”的“再創(chuàng)造”過程，這有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過程，體驗(yàn)創(chuàng)造的激情，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神；有助于學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決問題的能力；有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造能力.