對形如af 2(x)+bf(x)+c=0的題目探究

張小丹

四川省南充高級中學順慶校區 (637000)

對形如af2(x)+bf(x)+c=0的題目探究

張小丹

四川省南充高級中學順慶校區 (637000)

關于確定復合函數方程根的個數問題已成為近年高考的熱點考題.本文將結合實例歸納出這類問題的求解方法,供學生們學習時參考.

例1 (2017吉林試驗中學五模)

A.2B.3C.4D.5

分析：方程[f(x)]2-f(x)+a=0(a∈R)可視為關于f(x)的二次方程，所以不妨令f(x)=t，則[f(x)]2-f(x)+a=0(a∈R),即為t2-t+a=0與f(x)=t的復合.

圖1

設f(x)=t，所以[f(x)]2-f(x)+a=0,即為t2-t+a=0.

觀察圖像易得(ⅰ)當t<0時，方程f(x)=t有一個根；(ⅱ)當t=0時，方程f(x)=t有兩個根；(ⅲ)當t>0時，方程f(x)=t有三個根.

下面研究方程t2-t+a=0的根的個數.

1)當方程t2-t+a=0沒有實根時，顯然方程f(x)=t也無實根；

3)當方程t2-t+a=0有兩不同根時，設這兩個根為t1,t2，∵t1+t2=1，所以t1,t2不可能同時為負數，故方程f(x)=t不可能有兩個根.故選A.

解題感悟：對于形如af2(x)+bf(x)+c=0的相關題目的解答，我們可以按照這樣一個思路來進行：

(ⅰ)研究函數y=f(x)的圖像或相關性質(如利用圖像變換，解析式法，導數等工具研究)；

(ⅱ)根據(ⅰ)中y=f(x)的圖像，研究關于x的方程f(x)=t的根的個數(對t的取值展開討論)；

(ⅲ)根據題目條件以及(ⅱ)中討論的若干情況，作出相應的結論.

例2 已知函數f(x)=

A.mn

D.m,n的大小不能確定

圖2

分析：第一步，研究函數f(x)的大致圖像當x≠1時，f(x)=|lg|x-1||，它可以由函數y=lgx的圖像經過如下的變換方式得到：

y=lgx

第二步，研究x的方程f(x)=t的根.

觀察圖像易得(ⅰ)當t<0時，方程f(x)=t無根；(ⅱ)當t=0時，方程f(x)=t有三個根；(ⅲ)當t>0時，方程f(x)=t有四個根.

第三步，分析并作出相關結論.

設f(x)=t，則方程f2(x)+bf(x)+c=0,即為t2+bt+c=0.

由于方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個不同的實數解，所以方程t2+bt+c=0必有兩個根t1,t2，且其中一個根等于0，另一個根大于0，所以t1+t2=

-b>0?b<0，t1t2=c=0 ，所以b

分析：第一步，研究函數f(x)的大致圖像.

圖3 圖4

第二步，研究x的方程f(x)=t的根.

設|f(x)|=t,t≥0，所以方程f2(x)+2a2=3a·|f(x)|，即為t2-3at+2a2=0.

對于方程|f(x)|=t,t≥0，觀察|f(x)|的圖像易得(ⅰ)當t≤0時，關于x的方程t=|f(x)|無解；(ⅱ)當0e時，關于x的方程t=|f(x)|有3個解.

第三步，分析并作出相關結論.

下面給出兩個題目，供大家練習.

練習1 已知函數f(x)=|xex|，方程f2(x)-tf(x)+1=0(t∈R)有四個實數根，則t的取值范圍為 ( ).

練習2 已知f(x)是定義在R上的偶函數，對于?x∈R,都有f(2+x)+f(x)=0,當x∈[0,1]時，f(x)=-x2+1，若a[f(x)]2-bf(x)+3=0在[-1,5]上有五個根，則此五個根的和是( ).

A.7B.8C.10D.12

答案：A,C.