一道數學競賽題的多視角解法探究

伍 暉 顏 青

江西省南昌市心遠中學 (330000)

一道數學競賽題的多視角解法探究

伍 暉 顏 青

江西省南昌市心遠中學 (330000)

圖1

近日一道競賽題由于其新穎別致、解法多樣，引起了筆者的注意，題目是這樣的：

題目如圖1，在△ABC中，CB=a，CA=b，∠ACB=θ(a≥bcosθ)，AD=BD，且∠ACB+∠ADB=180°，求CD的長度．

這是一道關于長度的競賽題，條件簡潔明了，形式優美，設計新穎，入口較寬，從不同的角度可以得到多種解法，能夠較好地考查學生分析問題、解決問題的能力．

視角1：四點共圓

通過分析題意，發現四點共圓，然后利用圓的性質，比如相交弦定理、切割線定理、托勒密定理等來解決問題．

1．1 利用托勒密定理

圖2

評注：這里是通過發現A、C、B、D四點共圓，利用托勒密定理列出方程從而求得線段CD的長度．

1．2利用角平分線定理

評注：這里在發現四點共圓的基礎上利用角平分線定理，非常簡潔地列出了等量關系．

視角2：構造補形

2．1 構造等腰三角形

圖3

2．2 構造全等三角形

圖4

評注：由三角形組成的平面幾何問題，往往可以考慮作全等三角形，比如這里可以考慮把△CDA變換到△B1DB位置．

圖5

2．3 利用角平分線截長補短

視角3：解三角形

3．1 利用正、余弦定理

利用正弦定理和余弦定理進行邊角互化來計算線段的長度，雖然運算較繁，但可省去添輔助線的麻煩．

圖6

3．2 利用面積法

評注：此處利用面積的兩種不同表示列出等量關系，從而求出線段CD的長度，簡潔明了．

視覺4：坐標解析式法

解法8：如圖7，以△ABC的外心為原點，且x軸平行于邊AB，建立平面直角坐標系,設△ABC的外接圓半徑為R，則有

圖7

因為∠ADB+∠ACB=180°，所以點D在外接圓上，

則D(0,-R)，C(Rcosα,Rsinα)，A(Rsinθ,-Rcosθ)，B(-Rsinθ,-Rcosθ)．由距離公式得

a2=(Rcosα+Rsinθ)2+

(Rsinα+Rcosθ)2，b2=

(Rcosα-Rsinθ)2+(Rsinα+Rcosθ)2，兩式相加得a2+b2=4R2(1+sinαcosθ)．

視覺5：利用向量

圖8

解決平面幾何問題無外乎從幾何法和代數法兩大角度去思考，幾何法需要添加輔助線，構造轉化成常見的幾何問題去解決，思維量大，但運算較為簡單；代數法需要建立適當的直角坐標系，利用點或者向量的坐標運算來解決，回避了作輔助線的麻煩，但運算量較大．這道數學競賽題解法很多，真是“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，從不同視角來探究，各顯神通．

[1]張亞東.一道上海市初三數學競賽題的多視覺解法探究[J]．數學教學．2016(11)；17-19．

[2]張國治,馬禎，白祥明.例談單位向量的應用[J]．數學教學．2011(6)；32-35．

[3]薛金星.怎樣解題(初中數學)[M]．北京：北京知識出版社，2007．