對稱：解答極值點偏移問題的有效手段*

羅 成 劉成龍

四川省內江師范學院數學與信息科學學院 (641112)

對稱：解答極值點偏移問題的有效手段*

羅 成 劉成龍

四川省內江師范學院數學與信息科學學院 (641112)

函數極值點偏移問題是近年高考的熱點問題，引起了眾多老師們的關注.文[1-11]對極值偏移問題作出了深入的研究，介紹了極值點偏移產生的原因、給出了極值點偏移的定義以及介紹了極值點偏移問題的三種處理策略：構造一元階差函數、構造對數平均不等式、利用換元法構造函數.文[4]認為對數平均轉化法是該類問題的本質回歸.我們認為該類問題的本質為“脫”f，即若m，n∈A，由f(x)在區間A上為單增函數(或減函數)及f(m)>f(n)(或f(m)n(或m

1.極值點偏移的圖像表征

(1)極值點左偏

圖1 圖2

(2)極值點右偏

圖3 圖4

2.對稱法解答極值點偏移問題簡介

對稱在數學中普遍存在，比如：圖形對稱，結構對稱等等.對稱在視覺上給人美的感覺，既能激發人的靈感，又能啟迪人的智慧.從數學本身來看，對稱是對象內部結構不變性；從解題學角度看，對稱是對象內部信息的有序排列.作圖形1、2、3、4中左邊(或右邊)圖形關于直線x=x0的對稱圖形(見上文虛線).可以發現1、2、3、4虛線部分完全位于原圖同側部分的下(或上)方，這正是極值點產生偏移原因(x0左右函數圖像增減速度不同)的直觀展示.下面以圖1為例，從對稱的角度介紹極值點偏移問題的處理方法.

2.1 問題(如圖1)

已知連續函數f(x)在區間(a,b)內只有一個極值點x0，若方程f(x)=c的解分別為x1、x2，且x12x0.

證明：作y=f(x)(xx0).令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(2x0-x)(x>x0)，得h′(x)=f′(x)+f′(2x0-x)>0(x>x0).于是h(x)>h(x0)=0，故f(x)>g(x)(x>x0)恒成立.由f(x1)=f(x2)>g(x2)=f(2x0-x2)，得到f(x1)>f(2x0-x2).因為f(x)在區間(a,x0)上單調遞增，且2x0-x22x0-x2.故x1+x2>2x0成立.

2.2 方法提煉

對稱法解答極值點偏移問題的步驟：

(1)求極值點x0；

(2)利用對稱性構造函數：

g(x)=f(2x0-x)(xx0).)；

(3)證明：f(x)>g(x)(或f(x)

(4)脫f：由f(x1)=f(x2)>g(2x0-x2)(或f(x1)=f(x2)2x0(或x1+x2<2x0).

3.運用對稱法解答高考中極值點偏移問題

(Ⅰ)求f(x)的單調區間；

(Ⅱ)證明：當f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時，x1+x2<0.

解：(Ⅰ)解略.

圖5

當x∈(-∞,0)時，為函數f(x)單調遞增區間；

當x∈(0,+∞)時，為函數f(x)單調遞減區間.

設函數h(x)=(1-x)ex-(1+x)e-x(x<0)，所以h′(x)=x(e-x-ex)<0，于是h(x)>h(0)=0.故f(x)-g(x)>0(x<0)恒成立.不妨設x1<0g(x1)=f(-x1)，得f(x2)>f(-x1)，又-x1>0，由(Ⅰ)可知當x∈(0,+∞)時，f(x)單調遞減，所以x2<-x1，得x1+x2<0.

例2 (2010年高考天津卷)已知函數f(x)=xe-x(x∈R).

(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間和極值；

(Ⅱ)已知函數y=g(x)的圖像與函數y=f(x)的圖像關于直線x=1對稱，證明：當x>1時，f(x)>g(x).

(Ⅲ)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2>2.

圖6

(Ⅱ)過程略.

(Ⅲ)記y=f(x)(x>1)圖像關于直線x=1的對稱圖像(如圖6虛線)的解析式為g(x)=f(2-x)=(2-x)ex-2(x>1).由(Ⅱ)可知f(x)-g(x)>0在x∈(1,+∞)上恒成立.不妨設x1<1g(x2)=f(2-x2).即f(x1)>f(2-x2)，又x2>1，所以2-x2<1.又f(x)在(-∞,1)上為單調遞增，所以x1>2-x2，故x1+x2>2.

例3 (2016高考全國Ⅰ卷)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.

圖7

解: (Ⅰ)a>0，過程略；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：當x∈(-∞,1)時，函數f(x)單調遞減；當x∈(1,+∞)時，則函數f(x)單調遞增.于是f(x)的極值點為x0=1.記y=f(x)(x<1)圖像關于直線x=1的對稱圖像(如圖7虛線)的解析式為g(x)=f(2-x)=-xe2-x+a(1-x)2(x<1).令h(x)=f(x)-g(x)=xe2-x+(x-2)ex(x<1)，h′(x)=(1-x)(e2-x-ex).因為x<1，所以2-x>1，e2-x-ex>0，于是h′(x)>0.所以h(x)

不妨設x1<11，得x2<2-x1，故x1+x2<2.

例4 (2011年高考遼寧卷)已知函數f(x)=lnx-ax2+(2-a)x．

(Ⅰ)討論f(x)的單調性；

(Ⅲ)若函數y=f(x)的圖像與x軸交于A,B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明：f′(x0)<0.

圖8

解:(Ⅰ) 解答略；

(Ⅱ)證明過程略；

通過以上4例可以看出，對稱是“脫”f的有力工具.對稱法解答極值點偏移問題形象、直觀、有效.文中沒有運用對稱判定極值點是左偏還是右偏，希望有興趣的讀者繼續研究！

[1]邢友寶．極值偏移問題的處理策略[J]．中學數學教學參考，2014,7：19-22.

[2]王曉．對極值偏移問題的再探究[J]．中學數學教學參考，2014,12：32-36.

[3]賴淑明．從對數平均談極值偏移問題[J]．中學數學研究(廣州)，2015,4：31-32.

[4]賴淑明．極值偏移問題問題的另一本質回歸[J]．中學數學教學參考，2015,4：49-51.

[5]張同語．函數極值點偏移問題的一個解題策略[J]．中學生理科應試，2015,5：13-14.

[6]王歷權，黨忠良．也談談極值點偏移問題[J]．福建中學數學，2016,4：12-14.

[7]汪正文．函數極值點偏移問題的求解策略與研究[J]．中小學數學，2016,10：49-51.

[8]蘇藝偉．函數極值點偏移問題的一種求解策略[J]．數學教學研究，2016,10：53-55.

[9]李瑤，張紅．關于函數極值點偏移問題的思考—從一道高考壓軸題出發[J]．上海中學數學，2016,11：32-34.

[10]楊柳忠．利用構造法解決極值點偏移問題[J]．中學數學研究(江西)，2017,1：44-46.

[11]馬躍進．函數極值點偏移問題的處理策略[J]．中學數學研究(廣州)，2017,3：封面-2.

四川省“西部卓越中學數學教師協同培養計劃”項目(ZY16001).劉成龍系本文通訊作者.