探析一道解析幾何題的求解策略

虞 懿

浙江省金華市第六中學 (321000)

探析一道解析幾何題的求解策略

虞 懿

浙江省金華市第六中學 (321000)

解析幾何的核心方法是用代數的方法研究圖形的幾何量(性質)，核心思想是“數形結合”．2017年高考浙江卷第21題，保持了浙江卷背景熟悉、入口寬泛、解法多樣的一貫風格，細細品讀深感底蘊純厚，緊扣解析幾何的思想精髓．本文從解決解析幾何問題的核心思想出發，著重探究本題第(Ⅱ)問的求解策略．

圖1

一、試題展示

(Ⅰ)求直線AP斜率的取值范圍；

(Ⅱ)求|PA|·|PQ|的最大值．

品讀：本題以拋物線為載體，主要考查拋物線的幾何性質、直線與拋物線的位置關系、斜率與弦長等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．設計新穎，構思巧妙，耐人尋味，令人賞心悅目，體現了“能力立意”的指導思想，凸顯了數學試題的選拔功能．

二、求解策略

(Ⅱ)策略1：選擇恰當形式，實現幾何量的代數表示

“幾何量的代數表示”是解決解幾問題的關鍵，在本題中的幾何量是“|PA|·|PQ|”，用什么樣的代數形式來表示這個幾何量？對于弦長問題，很自然地聯想到圓錐曲線的距離和弦長公式．而在解幾中描述弦長的代數形式就是點或斜率，由此可想到用點坐標或斜率來表示幾何量“|PA|·|PQ|”．

解法1：聯立直線AP與BQ的方程

評析：聯立兩相交直線方程求出點Q的坐標，再根據兩點間的距離公式，以斜率為參變量來表示弦長，建立目標函數．

評析：涉及弦長的問題，應熟練地利用根與系數的關系，通過設而不求計算弦長，以求達到簡化運算的目的．

策略2：借助參數方程，實現幾何量的代數表示

評析：利用直線的參數方程中參數的幾何意義，避免了繁瑣的計算，使得方程的聯立簡便易得.

策略3：回歸向量知識本質，實現幾何量的代數表示

向量具有代數、幾何雙重身份，融數形于一體，是溝通代數和幾何的橋梁．它可以將幾何問題坐標化、數量化，因此它是解決解析幾何問題的重要工具．

評析：本解法構建平面向量，利用數量積的定義求|PA|·|PQ|，簡潔明了．在探究解題思路時，要善于從不同的角度分析、挖掘它與其他知識的聯系，在平面解析幾何中有關長度、角度的計算及有關平行、三點共線、垂直等位置關系問題都可以用向量知識解決．

策略4：妙用極化恒等式，實現幾何量的代數表示

評析：極化恒等式的應用，由一般的直接運用到結合具體問題的巧用，需要學生恰當地運用轉化思想，注意化動為定，特別是要結合題中的隱性特征進行轉化處理，才能達到事半功倍的效果．

策略5：利用圓冪定理，實現幾何量的代數表示

圓冪定理是平面幾何中的一個定理，是相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)的統一．例如，如果交點為P的兩條相交直線與圓O相交于A、B與C、D，則PA·PB=PC·PD．

圖2

評析：巧妙利用圓冪定理進行轉化，得|PA|·|PQ|=R2-|PC|2，避開求點Q的坐標，從而大大簡化運算，并且后續化簡也比較方便．

三、探究感悟

解析幾何的核心方法是用代數的方法研究幾何問題，在解題過程中，首先要將文字信息、圖形條件進行轉換，通過代數語言描述幾何要素及其關系，將待求的幾何量表示成代數式，然后進行適當的代數運算得出代數結果，最后通過分析代數結果的幾何含義解決幾何問題．在這個過程中要經歷文字信息、圖形特征和符號語言之間的多重轉換，因此，我們必須重視對幾何量(關系)的深入研究，探究用何種代數形式能恰當表示題目中的幾何量(關系)，同時有利于代數運算，從而形成正確的解題策略．