利用函數零點式妙解一類函數題

嚴婷婷 陳少春

浙江省紹興魯迅中學 (312000)

利用函數零點式妙解一類函數題

嚴婷婷 陳少春

浙江省紹興魯迅中學 (312000)

函數是高中數學中一個非常重要的核心知識，二次函數作為眾多函數里的“明星”備受考試命題者的青睞.最近浙江的模考卷、競賽卷里頻頻出現一類函數問題，筆者發現如果用二次函數的零點式去處理，簡潔明了，事半功倍.

例1 (2017年浙江高中數學競賽題)設f(x)=x2+ax+b在[0,1]有兩個實數根，則a2-2b的取值范圍為_________.

例2 (2014年浙江高中數學競賽題)已知b,c∈R，二次函數f(x)=x2+bx+c在(0,1)上與x軸有兩個不同的交點，求c2+(1+b)c的取值范圍.

例3 (2017年浙江高考調測卷17題)已知函數f(x)=x2+ax+b在(0,1)有兩個零點，3a+b的取值范圍是_________.

解：設f(x)=x2+ax+b的兩個零點為x1，x2，則0

例4 (2017年浙江模擬題)已知函數f(x)=ax2+bx+c(a>0)在(0,1)有兩個零點，f(0)·f(1)是正整數，求實數a的最小值．

例7 (2015年浙江高考文數21題)設函數f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)．

(2)若函數f(x)在[-1,1]上存在零點，0≤b-2a≤1，求b的取值范圍.

解：(1)略；

-3≤b<0．

例8 (2011年北大保送生試題)設p、q為實數，函數f(x)=x2+px+q，如果f(f(x))=0只有一個實數根，求證：p，q≥0．

解：由題意知，f(x)=0必有實數根，設f(x)=(x-x1)(x-x2)，故f(f(x))=(f(x)-x1)(f(x)-x2)．下面用反證法證明x1≤0，x2≤0．不妨設x1>0，則由二次函數f(x)=x2+px+q開口向上及f(x)=0有實根知，方程f(x)-x1=0有兩個不相等實根t1，t2，即f(x)-x1=(x-t1)(x-t2)，所以f(f(x))=(f(x)-x1)(f(x)-x2)=(x-t1)(x-t2)(f(x)-x2)至少有兩個不相等的實根，與題設矛盾．從而p=-(x1+x2)≥0，q=x1x2≥0．