從一道高考題的解答管窺函數的極值

王玉琴

甘肅省臨澤一中 (734200)

從一道高考題的解答管窺函數的極值

王玉琴

甘肅省臨澤一中 (734200)

題目(2016年山東高考數學文科題)設函數f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x，a∈R.

(1)令g(x)=f′(x)，求g(x)的單調區間；

(2)已知f(x)在x=1處取極大值，求實數a的取值范圍.

(2)①當a≤0時，由(1)知f′(x)單調遞增，所以當x∈(0,1)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；當x∈(1,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增.因此f(x)在x=1處取極小值，不合題意.

1.解法探究

1．1 利用零點存在性定理

(2)當0<2a<1時，f(x)有兩個不同極值點x1與1，且x1>1，由于f′(2a)=ln2a-4a2+2a<2a-1-4a2+2a=-(2a-1)2<0，故f(x)在x=1處取極小值，不合題意.

(3)當2a=0時，f′(x)=lnx，f(x)僅有一個極值點1，只因f′(2)>0，故f(x)在x=1處取極小值，不合題意.

(4)當2a=1時，f′(x)=lnx-x+1≤0，f(x)僅有一個極值點1，只因f′(2)>0，故f(x)在x=1處取極小值，不合題意.

1．2 利用導函數在極值點兩側的符號規律

由此可得極值的如下性質.

2 性質

性質1 函數f(x)在定義域D內有極值?存在a,b∈D，使f′(a)·f′(b)<0.

性質5 函數f(x)在定義域D內有唯一極值?y=f′(x)在定義域D內單調，且存在a,b∈D(a

(性質的證明非常容易，本文不再贅述)

3 應用

3．1 判定極值的存在性

因此函數F(x)有且僅有兩個極值點.

3．2 判定極值的唯一性

例2 求證：函數f(x)=ex-lnx有且只有一個極值點.

故依函數極值的性質f(x)在(0,+∞)上有且只有一個極值點，且為極小值點.

3．3 求極值

當m>0時，f′(e2)>0，f′(2)<0，此時，f(x)僅有極小值f(e)=me，無極大值;

當m<0時，f′(e2)<0，f′(2)>0，此時，f(x)僅有極大值f(e)=me，無極小值.

3．4 比較大小

可知h(x)max=h(0)=2,從而b-2<2,即

3．5 證明不等式

分析:令h(x)=ag(x)-2f(x)=axex-

3．6 求解不等式恒成立

例6 已知不等式ex-ln(x+m)>0恒成立，求實數m的取值范圍.

依函數極值的性質g(x)存在極小值點x0∈(-m,+∞),使g(x0)=(x0+m)ex0-1=0.則當x∈(-m,x0)時，g(x)<0，此時f′(x)<0，f(x)單調遞減.當x∈(x0,+∞)時，g(x)>0，此時，f′(x)>0，f(x)單調遞增.

可見，在判定函數極值存在性、唯一性、極值的大小，求極值，求與極值有關的參數取值范圍及證明不等式的相關問題時，若能巧妙的利用函數極值的性質，定可優化思維，簡化運算，巧妙解決問題.