問題引導 關聯思考 明晰本質
——例說初中數學微探究的實踐與思考

朱建良

江蘇省太倉市第一中學 (215400) 江蘇省太倉市朱建良名師工作室領銜人

問題引導 關聯思考 明晰本質
——例說初中數學微探究的實踐與思考

朱建良

江蘇省太倉市第一中學 (215400) 江蘇省太倉市朱建良名師工作室領銜人

初中數學課堂教學微探究主要著力于學生的學，是一種類似于課題研究的學習模式，微探究的教學目標指向培養學生的問題意識和探究能力，教師嘗試將教學內容轉變為“微探究”任務，在問題引導下啟發學生主動探究，有效改善傳統學習方式的缺點，基于學生的親身經歷，以疑問激發他們的求知欲望，優化學生數學思維方式和思維品質，具有提高學生學習效果和探究能力的功效．

《數學課標2011版》指出，綜合與實踐是一類以問題為載體，重視問題情境創設，以學生主動參與為主的學習活動．倡導教師深入用好教材、挖掘教材，并在教材內容的基礎上開發微探究學習實踐活動，精心設計一個微探究學習內容，充分調動學生的學習積極性，引導學生善于思考、樂于探究．筆者以蘇科版九(上)數學第二章《圓》第四節《圓周角(3)——圓內接四邊形》為微探究課題，談談在教學實踐中的一些收獲和認識，供同行參考．

1．微探究學習內容分析

微探究學習內容為九(上)蘇科版數學§2．4 圓周角(3)——圓的內接四邊形，其學習目標為：(1)掌握圓內接四邊形的概念及其性質定理．(2)引導學生經歷探究“圓內接四邊形的對角互補”的學習過程，培養學生動手操作、自主探索和合作交流的能力．(3)培養學生合情推理意識，掌握說理的基本方法，滲透從特殊到一般、類比、轉化等數學思想．

2．問題啟智、類比探究

從具體的作四邊形的外接圓的動手操作實驗出發來設計微探究學習內容，類比作三角形外接圓的方法，激發學生的思維始終處于積極主動的狀態，通過猜想、發現與歸納推理，理解數學概念．數學概念的形成過程是進行數學思想方法教學的最好載體，引導學生理解沒有“過程”就沒有“思想”．

圖1

問題1 (1)過三角形的三個頂點能畫一個圓嗎？為什么？(2) 過三角形的三個頂點這個圓叫什么？這個三角形又稱為什么？(3) 過四邊形的四個頂點能畫一個圓嗎？為什么？(4) 如圖1，已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，請探究∠A與∠C，∠B與∠D有怎樣的數量關系？為什么？(說明理由)用幾何語言準確表述你的發現．

解析:嘗試畫圖實踐操作入手，類比探究圓內接四邊形ABCD性質，得出∠A+∠C=∠B+∠D=180°的數量關系，歸納出“圓的內接四邊形對角互補”．

設計意圖:關注學生微探究學習方式，引導學生自己經歷思考的過程，通過交流合作和動手操作來感悟和體驗知識發生、由來的過程，在學生親身感受、體驗的歷程后，抓住四邊形ABCD與⊙O的位置特征，運用合情推理去探索結論，從“共同特征”中歸納“本質特征”，獲得數學學習經驗．

3．理解性質，提煉方法

從簡單的特例出發，尋求圓周角之間的數量關系，以數學知識的探究過程為學習重心，通過學生獨立思考發現圓內接四邊形的性質，設計動態變化的微探究問題情境，從本質上探究圓周角之間的合理聯系與邏輯聯系．

圖2

問題2 如圖2，已知四邊形ABCD內接于⊙O，若∠AOC=140°．

求：(1)∠ABC的度數；

(2) ∠OAD+∠OCD的度數．

變式1 (續問題2)如圖2，若DA=DC，你能求出哪些角的度數？

變式2 如圖2，已知四邊形ABCD內接于⊙O，若有ABCO，你能求出哪些角的度數？

微探究問題設計基于學生數學基本活動經驗，言簡意賅，應用圓內接四邊形性質解決問題簡約明了，以特殊圓周角度數為突破口，幫助學生快速捕捉、理解有效信息、解決問題．

圖3

解析:(1)連接AC，在等腰ΔDAC中，求出∠DAC=55°，解讀四邊形ACED內接于⊙O模型，得∠DAC+∠E=180°，求出∠E=125°.

在圓上增加一動點，將圖形變換，一圖多用，一題多變，問題設置別致精巧，平中見奇，微探究指向培養學生探究能力，幫助學生正確理解基本圖形、基本知識，通過特殊圓周角的求解，實現知識立意到能力立意的轉變．

設計意圖:通過將條件弱化或增強，從而轉化為微探究新問題，引導學生對數學問題進行引申、推廣，促使學生積極思考，尋求最佳的解決思路，積累經驗方法，培養學生自主探究、合作學習的能力．問題2難度較低，為后續探究做好鋪墊，拓展問題為學生提供了展示自己智慧的舞臺，使其在新問題情境中探求出解決陌生問題的方法．

4．變式探究，拓展延伸

構建“圓的內接四邊形的一個外角等于它的內對角”幾何模型，聯系三角形角平分線和三角形相似等相關性質，采用類比聯想的研究方法，及時歸納總結出解決此類問題的一般方法，幫助學生在變式的微探究的思考中發現一類數學問題的本質和規律，經歷數學知識的再發現過程．

圖4

問題3 如圖4，四邊形ABCD內接⊙O，DB=DC，∠DAE是四邊形ABCD的一個外角，問∠DAE與∠DAC相等嗎？為什么？

變式1 如圖4，ΔABC內接⊙O，AD為ΔABC的外角平分線，交⊙O于D，連接BD、CD，判斷ΔDBC的形狀，并說明理由．

變式2 (續問題3)如圖5，若AF平分∠BAC，連接DF，問：DF與BC有怎樣的位置關系？為什么？

解析:通過尋求相等量，巧妙轉化，尋求∠DAE=∠DCB=∠DBC，變式1互逆變換問題3的條件

圖5

拓展如圖6，四邊形ABCD內接于⊙O，AC、BD相交于點F，BA、CD的延長線交于點E，若CB=CA=AE．

(1)判斷BD是否平分∠EBC，說明理由；(2)若CD=6，BD=8，求DF的長．

圖6

解析:依據圓內接四邊形性質，尋求等腰ΔACE、ΔCAB角之間數量關系發現，∠CAB=2∠EBD，又∠CAB=

通過變式問題縱向拓展，在編制問題、解決問題、完善問題的系列操作過程中經歷了數學思維的運用與逐步完善，數學微探究過程不止于數學知識的發生、發展和形成的過程，更在于數學知識、經驗、思想方法的內化和遷移過程，從特殊到一般進行探究，體現數學思維中的“火熱思考”，指向解題突破時要回歸到“圓的內接四邊形性質”的核心概念．

設計意圖:基于“理解數學”的視角，通過將問題設計成同一模型多個層次的問題串，變式探究，分散難點，逐層展開，循序深入，數學微探究按圖示方式展開：

真正體現了《數學課程標準(2011版)》人人學有用的數學，不同的學生在數學上得到不同的發展的理念．

5．沉淀思維，積累經驗

突出能力培養應重視在問題解決中滲透數學思想方法，數學思維訓練的重要目的是積累解題經驗，拓展數學思維深度，優化解題策略．在思考題中以旋轉變換為問題載體，涉及操作不變性思想和分類討論的思想方法，幫助學生從特殊到一般的角度理解“化動為靜、動靜結合”的方法．

思考題已知在ΔABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E．(1)如圖7①，若AB=6，CD=2，求CE的長；(2)如圖7②，當∠A為銳角時，試判斷∠BAC與∠CBE的數量關系，并證明你的結論；(3)圖7②中的邊AB不動，邊AC繞點A按逆時針方向旋轉，當∠BAC為鈍角時，如圖7③，CA的延長線與⊙O相交于點E，試判斷∠BAC與∠CBE的數量關系是否與(2)中你得出的關系相同．若相同，請加以證明；若不同，請說明理由．

圖7

設計意圖:“好奇——探究——解題——感悟——創新”是數學微探究學習的必由之路，以激發學生動手操作實驗為主線貫穿整個教學過程，問題設計從發散性視角培養學生的學習興趣，因材施教，引導學生在微探究學習過程中深層地體會學習的樂趣．

課堂教學中，教師重視微探究學習的過程，微探究問題設計遵循學生的認知規律，立足于學生的實際認知水平和能力．以開放性、探究性的數學問題引導學生獨立思考、合作發現，幫助學生正確理解問題，避免出現“只見教師智慧，不見學生感悟”現象，數學微探究對于學生學習方式的轉變、培養學生的數學問題意識，培養學生的質疑問難的能力，具有十分重要的現實意義．

教學微探究是一種行之有效的教學方法，教師根據教材特點、學情設計微探究內容，讓學生在經歷知識的形成與應用的過程中，真正理解數學知識，內化知識結構，形成技能，積累方法，獲得數學思想方法，通過數學微探究的學習，讓學生更加有興趣地學習知識，提升學生實踐動手能力，提高數學思維模式的層次，提高教學效果，真正踐行有效教學．