解析幾何解題教學的一些思考

丁益民

江蘇省蘇州實驗中學 (215011)

解析幾何解題教學的一些思考

丁益民

江蘇省蘇州實驗中學 (215011)

1.師生的“認識”引發的思考

前幾天聽到有學生問一道解析幾何題：“老師，該題是設坐標還是設斜率？”這不禁讓筆者想起在2013年蘇州高三數學二輪復習研討活動中，有位教師開了一節題為“解析幾何的解題策略選擇”的公開課，課上教師提出“設坐標”和“設斜率”兩種策略.解析幾何的解題教學定位到底是什么？莫非以這種刻意劃分的“設坐標”、“設斜率”的策略教學為教學目標？筆者認為，解析幾何解題教學中涉及的算法設計與分析、變式教學、背景探求等都應是訓練學生數學素養的重要載體.可實際教學現狀令人堪憂：教師只側重于方法的講解展示，熱衷于解題方法的分析，局限于對某單個問題的個體研究.整個教學過程儼然就是大容量、快節奏的題海戰術演練，學生的行為完全被支配于低層次的“同化”狀態，學生經歷的是被動的碎片化的思維訓練，學習效果自然不理想，久而久之便形成了高耗低效的惡性循環.

要改變如此境況，教師必須要改變以往“大容量、快節奏”的課堂教學觀，控制容量，放慢節奏，以提升學生核心素養為基本抓手，讓解析幾何解題教學多點“數學味”.本文試以一道橢圓問題談談解析幾何解題教學的一些想法.

圖1

2.關注解題教學的過程分析

2.1 聚焦運算節點，對運算進行“微研究”

在研究解析幾何問題時，很多學生一旦有了思路便急于下筆，洋洋灑灑寫了很多，忽覺運算愈加繁雜，運算信心受挫，最終只能望“算”心嘆.這種現象在教學中尤為常見，是導致解析幾何解題教學難以突破的一大主因.一直以來，教師善于引導學生分析思路，然后便急匆匆地板書或讓學生自己驗算，在這樣的過程中，教師既沒有對已有算法進行合理性分析，也沒有帶領學生對已有算法的運算長度進行預估，學生在此情形下實施的要么是照搬教師黑板板書，要么就是停留在原有經驗中的運算程式，獲得的“運算求解”基本經驗幾乎沒有.其實，完全可以在有思路之后，引導學生對思路進行算法的設計，并力求理清思維走向中的每個運算節點，對每個節點中可能的思維障礙、運算實施進行預估，并及時作出改進與優化方案.

就本題而言，思路形成后的算法設計如下：

S1：設出P、M、N坐標(節點①)，并表示直線PM、PN的方程；

S2：求得兩條直線與x軸交點的橫坐標xR、xS(節點②)；

S3：計算xR·xS(節點③).

這樣的算法設計就是學生解題時的“方向儀”，在此基礎上，可對其中的運算節點做進一步的“微研究”：

在節點①中，教師可引導學生分析選擇不同的變量對后續運算的影響.一般而言，橢圓上的點有兩種設法：直角坐標(x0,y0)或三角參數形式(acosα,bsinα).兩種設法各有優劣，應讓不同層次的學生感受到不同的設點方式下導致的運算長度和可能狀況不一樣.

分析：設成直角坐標(x0,y0)直接簡明，但可能因為變量(字母)較多，后續消元時易迷失方向；設成參數形式(acosα,bsinα)變量較少，化簡方向不會亂，但對三角恒等變換的要求高.

據此分析，學生將會結合自身實際情況選擇合適的設點方式，進而形成基本活動經驗.

其次，在運算“xS”時習慣于運用“同理可得”，可實際上很多學生并非真理解“同理”，“理”在何處？因此，在最初運用“同理”時應講清原委，并盡可能地讓學生自己完成這樣的“同理可得”，讓他們真正體會到如何進行坐標替換的思維操作.

可見，通過慢節奏對算法設計、運算節點進行“微研究”，學生的思維訓練是由淺入深、從粗到細慢慢展開，既有對自己已有運算經驗的調整訓練，也有借鑒他人思維的模仿訓練，還有對代數式觀察、運算方向監控、運算長度預估等多重的思維訓練，在這個過程中，學生的思維品質和數學運算素養都將能得到相應的提升.

2.2 算理提煉，形成基本活動經驗

長期以來，數學運算的教學側重于技能的訓練，將數學運算變成了追求速度、技巧、準確率的技能訓練，學生疲于“死算”，忙于“瞎算”，這樣的訓練對學生的數學素養的提升是極其不利的.任何運算都離不開算理的支撐，算理是客觀存在的規律，為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和正確性.沒有算理指引下的運算是盲目的，學生更需要算理來指引運算，從而減少不必要的時間消耗.實際上，在每個運算過程中蘊含著“算理”，需要教師引導學生提煉出來，而且要讓學生體會到“算理”是進行一類運算的規律所在.

對本題的運算過程進行回顧，可以發現“消元”是基本算理，具體到兩種不同的設點方式：

設成直角坐標最終必定通過“點在橢圓”上這一信息進行坐標代換，而設成三角參數形式最終必定通過三角恒等式進行消元.通過對兩種設點方式的算理提煉，并及時指出兩種設點方式最終的“消元”方式不同，對知識要求和運算水平也不盡相同.這樣的過程可以讓學生根據自身情況選擇更適合自己的“算法”進行運算.算理的提煉解決了學生執行算法時的盲目，學生獲得了進行類似操作的思維范式，對學生運算信心的提高也有很大的幫助.

3.重視解題教學的本質揭示

正如波利亞所言：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找找，很可能附近就有好幾個.”在解析幾何解題教學中，應有意識地搜集“附近的蘑菇”，舉一反三，觸類旁通，揭示出問題本題，并通過合理的教學組織，發揮出應有的教學功能.

很容易搜集整理到原題結構相近的“姊妹題”：

圖2

圖3

(1)略；(2)若點P為橢圓C上異于A、B的動點，且直線AP,BP分別交直線y=x于點M、N，證明：OM·ON為定值.

圖4

有了這些形似的素材，可以根據學生的認知特

點、思維水平設計不同層次的活動.如變式教學，將原問題變式為題1(或題2)，進而變形為題3，并分析題3與原題的聯系(過Q作QQ'⊥x軸于Q'，可知Q'、M、C'三點共線，問題就是題1了).還可以引導學生通過運算觀察、歸納猜想、推理論證等一系列的思維活動，將原問題拓展至一般情形，或將原問題退化為“圓”探求其幾何背景.

活動1：將原命題推廣至一般情形：

圖5

活動2：退化到圓中探求幾何背景.

圖6

如圖6，易證ΔOPM∽ΔONP，于是OM·ON=OP2=OT2，這就是該命題在圓中的幾何背景.

從上面可以看出，通過對原有問題的類題搜集并進行有效地組織，使得教學成為多維度的系統研究，學生對知識本質的理解上將會有更深的感悟，在思維訓練上也得到了充分的訓練，在邏輯推理、數據分析、運算求解等數學素養方面將有較大的發展.

4.結語

解題教學不應該成為教師炫耀技巧和題型梳理的場所，而應該是帶領學生去感悟數學本真，訓練學生思維，提升數學素養的舞臺，應該是一個規范的系統的長期工程，需要我們不斷地探索研究并踐行.

[1]潘龍生.教學，少些一帶而過[J].數學通報，2015，1:14-16.

[2]章建躍.中學數學課改的十個論題[J].中學數學教學參考(上旬)，2010.4