矩陣乘法不可交換的幾何解釋

李小山

摘 要 矩陣是代數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)和重要工具，涉及代數(shù)學(xué)的各個(gè)重要內(nèi)容。矩陣乘法與數(shù)的乘法最本質(zhì)的區(qū)別是矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律。本文通過(guò)幾個(gè)非常具有幾何直觀的例子來(lái)形象說(shuō)明矩陣乘法不可交換這一數(shù)學(xué)現(xiàn)象，加深我們對(duì)矩陣乘法不可交換的認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞 矩陣 矩陣乘法 交換律

中圖分類(lèi)號(hào)：G423.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0引言

線(xiàn)性代數(shù)是一門(mén)十分重要的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)課程，它的基本概念，理論和方法都具有高度的概括性，抽象性和廣泛實(shí)用性。線(xiàn)性代數(shù)無(wú)論是在數(shù)學(xué)，物理，還是工程力學(xué)都有著非常重要的應(yīng)用。因此，在大學(xué)階段真正掌握和理解線(xiàn)性代數(shù)中的基本概念和方法就顯得非常有必要。線(xiàn)性代數(shù)的核心內(nèi)容就是解線(xiàn)性方程組，而充分了解線(xiàn)性方程組解的基本理論是矩陣的理論。可以這樣說(shuō)，解線(xiàn)性方程組是核心，而基本工具則是矩陣。矩陣是線(xiàn)性代數(shù)中最為基本的概念。其中矩陣運(yùn)算包括矩陣的加法，數(shù)乘以及矩陣的乘法。矩陣的加法和數(shù)乘對(duì)于線(xiàn)性代數(shù)的初學(xué)者都很好理解，唯有矩陣的乘法運(yùn)算對(duì)于線(xiàn)性代數(shù)初學(xué)者來(lái)說(shuō)是一道很難邁過(guò)的門(mén)檻。在本文中，筆者將重點(diǎn)探討如何來(lái)理解矩陣的乘法以及探討為何矩陣不再滿(mǎn)足交換律這一重要的數(shù)學(xué)事實(shí)。我們將通過(guò)幾個(gè)非常具有幾何直觀的例子來(lái)形象說(shuō)明矩陣乘法不可交換這一數(shù)學(xué)現(xiàn)象，加深了我們對(duì)矩陣乘法不可交換的認(rèn)識(shí)。

1矩陣乘法的定義的引入

設(shè)A=（aij）是一個(gè)m€譻矩陣，B=（bij）是一個(gè)s€譶矩陣。規(guī)定矩陣A與E的乘積是一個(gè)m€譶矩陣，其中

（1）

公式（1）是矩陣乘法的標(biāo)準(zhǔn)定義。這個(gè)定義對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)顯得極不自然，無(wú)法理解矩陣乘法為何要以這種方式定義。按照筆者授課的經(jīng)驗(yàn)，如果僅要求學(xué)生死記硬背矩陣乘法的定義，會(huì)很大程度上降低學(xué)生學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)的興趣與積極性。又由于矩陣乘法是線(xiàn)性代數(shù)中最為基礎(chǔ)的內(nèi)容，如果這部分基礎(chǔ)理解不透徹，對(duì)于后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)將會(huì)是一個(gè)很大的障礙。

對(duì)于矩陣乘法的教學(xué)，一個(gè)恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ峭ㄟ^(guò)線(xiàn)性變換的復(fù)合運(yùn)算來(lái)理解矩陣的乘法。以這種方式來(lái)理解矩陣乘法有很多好處，尤其是對(duì)理解矩陣乘法不可交換，以及矩陣乘法沒(méi)有消去律等結(jié)果上提供很大的便利。設(shè)分別為的坐標(biāo)。假設(shè)是兩個(gè)線(xiàn)性變換，即我們?nèi)缦聦?duì)應(yīng)關(guān)系：

（2）

和

（3）

將（2）代入（3）得到

（4）

這里，

（5）

.

規(guī)定矩陣C=（cij），A=（aij），B=（bij），并定義矩陣C為A與E的乘積，寫(xiě)作C=AB。若記，，，那么利用矩陣乘法的定義我們知道。分別稱(chēng)為線(xiàn)性變換所對(duì)應(yīng)的矩陣。因此，由我們發(fā)現(xiàn)（5）中矩陣乘法的定義事實(shí)上是來(lái)源于求復(fù)合線(xiàn)性變換所對(duì)應(yīng)的矩陣，所以從這個(gè)角度來(lái)看矩陣乘法的定義有著深刻的含義。

2矩陣乘法不可交換的具體例子

矩陣的乘法與我們中學(xué)時(shí)代所學(xué)過(guò)數(shù)的乘法的有著本質(zhì)的區(qū)別。若a，b是兩個(gè)數(shù)，我們知道一定有ab=ba，即數(shù)的乘法可以交換。然而對(duì)于矩陣乘法而言，它與數(shù)的乘法最大的區(qū)別是矩陣乘法不再可交換。例如我們有如下矩陣

（6）

經(jīng)過(guò)直接計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)

（7）

從上面的計(jì)算結(jié)果，馬上發(fā)現(xiàn)

AB≠BA， AC≠CA， BC≠CB （8）

所以，從計(jì)算的結(jié)果可以看出矩陣的乘法不再滿(mǎn)足交換律。

3矩陣乘法不可交換的幾何解釋

矩陣乘法是大學(xué)數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)不同的一個(gè)顯著例子，所以為了讓學(xué)生能順利從中學(xué)數(shù)學(xué)過(guò)渡到高中數(shù)學(xué)，非常有必要將這些不同之處講解透徹。在強(qiáng)調(diào)矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律時(shí)，如果僅從計(jì)算幾個(gè)具體的例子然后告訴學(xué)生矩陣乘法確實(shí)不滿(mǎn)足交換律會(huì)讓學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)就只是一些具體的計(jì)算，這樣會(huì)降低學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)的興趣。所以在講矩陣乘法不可交換時(shí)，我通過(guò)一些具體的例子，以及通過(guò)形象的幾何直觀來(lái)說(shuō)明矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律，加深我們對(duì)矩陣乘法不可交換的理解。例如（8）中的AB≠BA，AC≠CA，BC=CB后面有著非常有意思的幾何含義。我們知道在平面幾何中存在三種常見(jiàn)的線(xiàn)性變換，如旋轉(zhuǎn)，投影，以及鏡像對(duì)稱(chēng)。分別用，C表示將平面向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度 ，向x軸投影，以及關(guān)于y軸做對(duì)稱(chēng)（如圖1、圖2）。

（圖1） （圖2） （圖3）

設(shè)向量p的終點(diǎn)坐標(biāo)為x，y，則將向量p記為。設(shè)向量P1的終點(diǎn)坐標(biāo)為為，向量P1記為。圖1中的旋轉(zhuǎn)變換所對(duì)應(yīng)的矩陣是，即。圖2中的投影變換所對(duì)應(yīng)的矩陣是（2）中的矩陣，圖3中關(guān)于y軸的鏡像對(duì)稱(chēng)變換C所對(duì)應(yīng)的矩陣是（2）中的矩陣。當(dāng)圖1中的 =，即是將向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90€暗男浠唬雜Φ木卣笄『檬？2）中的矩陣。那么將向量p先向x軸投影，再逆時(shí)針選擇90€暗母春舷咝員浠凰雜Φ木卣笄『檬茿B。 將向量p先逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90€埃儐騲軸投影的復(fù)合線(xiàn)性變換所對(duì)應(yīng)的矩陣恰好是BA。現(xiàn)設(shè)向量p=。那么就是將p先旋轉(zhuǎn)90€叭緩笤?xún)嗱x軸投影最終得到向量。而就是將向量p=先向x軸投影再向y軸做鏡像對(duì)稱(chēng)所得到的向量為。顯然，，即我們有ABp≠BAp，從而一定有AB≠BA。所以，雖然從表面的計(jì)算可以看出AB≠BA，但是其背后的幾何意義則是投影與旋轉(zhuǎn)這兩個(gè)線(xiàn)性變換的先后順序是不能交換的。同樣，AC≠CA其背后的幾何意義也是由于旋轉(zhuǎn)變換與鏡像對(duì)稱(chēng)變換不能交換順序。而 （8）中的BC=CB實(shí)際上來(lái)源于下面一個(gè)簡(jiǎn)單的事實(shí)：即向x軸的投影變換與關(guān)于y軸的鏡像對(duì)稱(chēng)變換C是可以交換的，即C=C，所以我們會(huì)有BC=CB。

4結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)上面的討論，我們可以看出矩陣乘法與我們中學(xué)時(shí)代所學(xué)數(shù)的乘法有著本質(zhì)的區(qū)別，矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律。我們通過(guò)舉例向量的旋轉(zhuǎn)變換與投影變換不可交換，向量的旋轉(zhuǎn)變換與鏡像對(duì)稱(chēng)不可交換這些幾何現(xiàn)象來(lái)說(shuō)明矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律這一數(shù)學(xué)理論，讓學(xué)生對(duì)矩陣乘法不可交換有了更加直觀的認(rèn)識(shí)，加深了他們對(duì)矩陣乘法的理解，提高了進(jìn)一步學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)的興趣。這些例子也進(jìn)一步說(shuō)明了數(shù)學(xué)中的理論并不是相互孤立的，我們要學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)理論各種不同的角度去了解一個(gè)現(xiàn)象，才會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容有更加深刻的認(rèn)識(shí)。

參考文獻(xiàn)

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