尋找自然底數e的來源

任浩然

摘 要：自然底數e在數學中有各種良好的性質，從指數函數到對數函數，再到兩者的導數，e都展示著其獨有的性質。那么，自然底數e究竟是怎么來的呢？e來源于一個數列的極限。

關鍵詞：自然底數 極限 獨有的性質

一、一個故事引發的思考

古代時候有一個吝嗇的財主，在借出一筆一年期的高利貸（借出一個金幣，利息也是一個金幣）時，他進行了以下思考：如果借款是按照半年期付利息的話，在半年后收到利息后，這筆利息又能產生利息。那么相比于原來的一年期付利息能夠在年底收獲更多的金幣，即收獲個金幣。同樣地，如果按照四個月付一次利息，就能收獲個金幣。也就是說，利息支付越頻繁，能夠收獲的金幣就越多。那么，是不是利息支付得足夠頻繁，就能夠收獲無窮多的金幣呢？

二、自然底數e的定義

根據古時候財主借金幣的故事，我們用數學方法來計算一下是不是能夠收獲無窮的金幣。

考察兩個數列和，其中，。那么，我們明顯能夠發現的是，對于任意的正整數n，都有，并且隨著n的增大，會越來越接近于1。

然而當我們來考察這兩個數列的單調性的時候，我們能夠神奇地發現，是一個單調遞增的數列，而是一個單調遞減的數列，接下來，我們將給出證明。

由于單調遞增，單調遞減，并且當n逐漸增大，我們能發現和會無限接近，也就是說這兩個序列會有相同的極限，這個極限就被定義為自然底數，用字母e表示。

e是數學中最重要的常數之一，它是一個無理數，e=2.718281828459045…。

三、自然底數e的性質

e作為特殊的數學存在，有著其特殊的性質，尤其是在指數函數和對數函數方面。眾所周知，的導數為，也就是說的導數就是它本身，那么這是為什么呢？

指數函數有一個特性：。那么，對于函數來說，假設c是常數，就有，即有。那么我們就能得到，對于特定的點，，令，就能得到。如果我們令，也即，那么就有，將用代換，那么我們就能夠得到。由于是一個常數，因此在這里我們能發現的是指數函數的導數就是它本身乘上一個常數，下面我們就需要來說明e就是那個特殊的能夠使得的值。

我們反過來考慮這個問題，已知的是，然后我們需要來尋找這個具有特殊性質的。我們運用最原始的導數的定義得到的是：

又因為，所以我們能得到：，于是我們就有：，如果我們令，并對進行反解，那么我們就能得到，因此我們證明了的導數就是它本身。

同樣地，在對數函數方面，也有很好的性質，即有。那這又是為什么呢？

根據導數的基本定義，我們能得到推導：

于是，我們就將高中所學到的與自然底數有關的特殊性質都進行了本質上的推導。

結語

自然底數e是一個很神奇的數，有許多良好的性質。從一個特殊的極限起源，到各種特殊性質在指數函數、對數函數中的應用，無不展示著其獨特的數學魅力。這就是數學的魅力所在！

參考文獻

[1]伍勝健.《數學分析》（第一冊）. 北京大學出版社，2009：53-55.

[2]何云英. 解讀自然對數的底數e[J]. 數學通訊：教師閱讀， 2010（5）：64-64.endprint