加強數形結合，提高解題能力加強數形結合，提高解題能力

李惠蘭

數形結合的思想方法能溝通“數”和“形”之間的內在聯系，通過對圖形的認識、“數”和“形”之間的轉化，可以提高思維的靈活性、形象性、直觀性，從而使得問題容易解決。

在解題的過程中，通過數形結合，根據問題的不同特點，利用“數”和“形”各自的優勢，把數量關系問題轉化為圖形性質問題來處理，或者把圖形性質問題轉化為數學關系問題來研究，將的數學語言與直觀的圖形相結合，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而化復雜為簡單，化未知為已知，最終使問題得已解決。

一、由數思形，數形結合，用形解決數的問題

（1）利用數軸理解數正負、大小的概念，便具有了幾何意義，一個數的絕對值就是數軸上表示這個數的點與原點的距離。

例1：實數a，b在數軸上的位置如圖1所示

化簡：|a+b|+= .

分析：由圖1可知a<0，b>0，a+b>0，b-a>0.

∴原式=-a-b+b-a=-2a.

點評：解題的關鍵是讀懂數軸，把圖形語言轉化成解題所要求的數據。借助數軸可以解決實數問題，還可以解決不等式（組）問題。

（2）解直角三角形的應用更是數形結合的典型材料。

例2 已知a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中∠C=90°，化簡：|a-b-c|+++.

分析：這里a，b，c是直角三角形三邊，具有幾何意義，如圖2，由三角形三邊關系定理：ac，c

勾股定理：a2+b2=c2.

因此，原式=-（a-b-c）+（a+b+c）+c-（c-a-b）=a+3b.

（3）平面直角坐標系建立后使有序實數對具有了幾何意義，由點可確定點的坐標，由坐標可確定點，一次函數、二次函數、反比例函數只有利用它們的圖象，才能更深刻地理解它們的性質.

例3 如圖3，已知二次函數y=ax2-4x+c的圖象經過點A和點B。

（1）求該二產欠函數的表達式；

（2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點坐標；

（3）點P（m，m）與點Q均在該函數圖象上（其中m>0），且這兩點關于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點Q到x軸的距離.

分析：（1）觀察圖象，得A（-1，-1），B（3，-9）.

得方程組

解得

∴該二次函數的表達式為y=x2-4x-6.

（2）對稱軸為x=2；頂點坐標為（2，-10）.

（3）將（m，m）代入表達式，解方程得m1=-1，m2=6.

∵m>0， ∴m=6

∵點P與點Q關于對稱軸x=2對稱，

∴點Q到x軸的距離為6.

點評：解題的關鍵是通過點的坐標把握函數的圖象及其性質。借點平面直角坐標系，把數量關系通過圖象直觀化、形象化、動態化，同時又可以根據圖象特征及相關知識探究隱含的數量關系，將圖象特征具體化。

（4）借助圖表解代數問題。

例4 小王購買了一套經濟適用房，他準備將地面鋪上地磚，地面結構如圖所示。根據圖中的數據（單位：m），解答下面問題：

（1）用含x、y的代數式表示地面總面積；

（2）已知客廳面積比衛生間面積多21m2，且地面總面積是衛生間面積的15倍。若鋪1m2地磚的平均費用為80元，那么鋪地磚的總費用為多少元？

分析：（1）地面總面積為：6x+2y+18（m2）.

（2）根據題意，得解得

∴地面總面積為6x+2y+18=45.

∴鋪地磚的總費用為：45×80=3600（元）。

點評：解題的關鍵是理解題意，讀懂圖表。通過對圖表中數據信息的分析、比較、判斷和歸納，弄清數據間的內在聯系，一身是膽我學知識（主要是方程（組）、不等式（組）、函數及統計知識），正確建立數學模型解決問題。

二、由形思數，形數結合，用數解決形的問題

（1）利用數來解決幾何的面積問題。

例5 如圖5所示，已知矩形ABCD的邊BC上一點P，CD邊上一點Q，連結AP，PQ，AQ，得S△ABP=2， S△PCQ=3， S△ADQ=4，求矩形ABCD的面積。

分析：由形思數，形數結合，由于四邊形ABCD是矩形，可知△ABP，△PCQ，△ADQ都為直角三角形，又由S△ABP=2， S△PCQ=3， S△ADQ=4，可以得到它們的對應式子為AB·BP=4，PC·CQ=6，DQ·AD=8，這樣可利用解方程組的方法來求解。

設AB=x，BC=y，CQ=n，可列方程組：

（1）+（2）+（3）并整理得，得m（x-n）=18-xy.（4）

（1）×（3），得xy·m（x-n）=32. （5）

由（4）代入（5），得xy（18-xy）=32，

即（xy）2-18xy+32=0，

解得：xy=16或xy=2（不合題意，舍去）。

所以，矩形ABCD的面積是16.

（2）利用數來解決圓的有關求證問題。

例6：如圖6，已知：⊙O中三弦AB，CD，EF兩兩相交于點P，Q，R，并且AP=EQ=RD，CP=QB=RF，求證：△RQP是等邊三角形。

分析：此題用純幾何法證明難度較大，可從數量關系上來考慮：設AP=EQ=RQ=x，CP=QB=RF=y，PQ=a，QR=b，RP=c，

由相交弦定理，得化簡得

將三式相加，得（a+b+c）x=（a+b+c）y，

∴x=y，可得a=b=c，

∴△RQP是等邊三角形。

從以上兩例可以看出，形的直覺缺少嚴格性，形少數時難

入微。