平行四邊形的判定的拓展

我們知道平行四邊形具有以下性質：

①對邊平行；②對邊相等 ；③對角相等；④一條對角線平分另一條對角線；將①②③④兩兩組合在一起（包括①①、②②、③③、④④）作為條件，可構成如下關于判斷四邊形是否是平行四邊形的12個命題：

（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

（3）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

（4）兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

（5）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

（6）一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形

（7）一組對邊平行，一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊

（8）一組對角相等且連結這組對角頂點所得對角線平分另一條對角線，這樣的四邊形是平行四邊形。

（9）一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形。

（10）一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形。

（11）一組對邊相等，一條對角線平分另一條對角線的四邊形。

（12）一組對角相等且連結這組對角頂點所得的對角線被另一條對角線所平分，這樣的四邊形是平行四邊形。

下面我們來探討以上命題，哪些是真命題，哪些是假命題，若通過證明是真命題，即可作為判定四邊形是平行四邊形的一種方法；若能舉出反例或畫出反例圖，則說明是假命題；在今后遇到這類情況能準確判斷真偽、不至于混淆出錯。

1.顯然，（1）至（5）是課本上的定義或證明了的定理，它們是真命題，我們在這里就不贅述了，也易證（6）和（7）是真命題，而（8）也是真命題，但學生用現有的方法不易證明，我們可用同一法的思想來說明：如圖，

將四邊形繞O點旋轉180°，使B 點與 D點重合，若C點 與A點不重合，則會落在C′或C″處，此時∠B C′D﹤∠BAD 或 ∠B C ″D﹥∠BAD（三角形的外角大于不相鄰的兩內角和），故C只能落在A處，即OA=OC，由此說明四邊形ABCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

2.（9）至（12）是假命題，下面我們就舉出反例并畫出反例圖命題（9）反例圖

（10）圖

（11）

（12）

綜上所述：判斷一個四邊形是否是平行四邊形的情形還有三種，即上述探討論證了的真命題（6），真命題（7），真命題（8），雖課本中沒把它們作為定理出現，但探究的過程和結論可拓寬我們的視野，提高我們識別和應變能力，同時也可快而準應對測試中有關平行四邊形的選擇和判斷類型習題。

作者簡介

李煥蘭（1964.2-），女，漢族，湖北，中學高級教師，武漢市中學數學學科帶頭人，中國數學奧林匹克一級教研員，武漢大學數學專業研究生畢業，武漢外國語學校教師，從教多年來，關注數學教學的改革和學生的思維訓練，致力于中學高效課堂、中學生數學心里健康、中考數學、中學奧林匹克數學的研究endprint