小學數學問題解決的認知分析及其教學啟示

付學林

摘 要：“問題解決模型”給出了小學數學學習者在攻克數學難題時的思維過程與認知層次。總的來看，小學生在實施上述維模的過程中表現出三大典型思維特征：一是依賴具象思維進行運算操作，二是依賴內部語言系統轉譯和溝通符號世界與抽象概念，三是依賴無意識記憶機制。基于此，教師應當充分利用教輔工具啟動運算性思維，幫助學生建構內部語言系統的外放機制，并注重潛移默化和認知平衡。

關鍵詞：小學數學教學 問題導向型教學 認知學習理論

實際上，小學階段的數學教學在本質上是問題導向的，問題是數學教學的靈魂和心臟。也因此，培養和提升小學生發現問題、分析問題、解決問題的能力是素質教育背景下小學數學教學的關鍵任務。那么，分析小學生在攻克數學問題時的認知過程和特點，紓解其中的思維瓶頸，便能夠助益小學數學教學在“問題攻關”模式下的實效提升。本文將首先概述小學數學教學中“問題解決模型”的內涵和形式，再就小學生解決數學問題的認知特點作簡要歸納，最終將依照上述就如何提升小學數學學習者的問題認知和解決能力作技術上的建議。[1]

一、小學數學教學中的“問題解決模型”

喻平首次提出并構建了數學問題解決的認知模型。該模型的基本策略是將解決問題的階段與相應的認知加工方式相對應，基本理念是將數學問題解決看作解題者嘗試從記憶中提取解題圖示用于新的問題情境的過程。[2]

根據數學問題解決的認知模型，小學生認識、分析和解決數學問題的思維過程大致可被劃分為四個階段，即理解問題、選擇算子、應用算子和結果評價。與此對應的認知過程則是問題成像、模式識別、解題遷移和階梯監控。

在“問題成像”階段，解題者多就問題域作思維塑造，他們試圖明確問題的初始狀態、目標狀態及約束條件（或者說允許對其進行的操作式樣）。“模式識別”便是數學模型的發現與匹配過程，它要求解題者準確地就目標問題作類型化分析。“解題遷移”指先前解題學習對后繼解題學習的影響，包括知識系統、邏輯記憶、解題方法及技能應用等。“解題監控”是指解題者在解題過程中對解題活動進行積極主動的計劃、監視、調節和控制的過程，屬于“元認知”范疇。[3]

二、小學生解決數學問題的認知特點

根據皮亞杰的認知發展理論，結合小學數學學習者的課堂表現及學習效果反饋，筆者總結出了三點最具典型性的小學生解決數學問題的認知特點，即依賴具象、

第一，以具象思維為主，思維形式依賴思維內容。在皮亞杰看來，7-11歲兒童的思維發展正處于“具體運算階段”，即由前運算階段的表象圖式（具體思維）向運算圖式（抽象邏輯思維）轉化。該階段的學習者不具備單純依靠理智思維建構數學模型、抽象數算規律的能力，他們在學習概念、基本操作的過程中仍要以實物為依托，方能啟動運算性的心理操作。譬如，加法運算可能更多依靠視覺空間加工的參與，而乘法運算則可能與語言加工相關。

第二，內部語言系統是思維發展的中心橋梁。對于小學數學學習者而言，“內部語言”才是思維的關鍵路徑。解決數學問題是一種思維活動，學生內部語言的發展為解決問題過程中的檢查、反思提供了心理基礎：他們依賴內部語言系統完成符號轉譯、抽象化歸，溝通多重運演，實現問題“閉環”。

第三，無意識記憶機制仍然占據支配地位。低年級學生的記憶工具同學前兒童的差別不大，有意識記憶機制和抽象邏輯識記能力均得到初步發展，但無意識記憶仍然占據主要地位。

三、通過數學教學提升小學生問題解決能力的策略

根據小學數學學習者的認知特點和思維個性，教學者應當注意三個方面的授課技巧。第一，充分利用教輔工具幫助學生在有實物的情況下啟動運算性思維。第二，幫助學生建立數理符號系統與內部語言系統間的對應關系。第三，注重潛移默化與認知平衡，巧妙滲入學生的無意識領域，利用無意識記憶機制提升知識記憶效果。

1.充分利用教輔工具啟動運算性思維

尤其是在幾何教學中，教輔工具的運用有助于學生建立直觀的空間體面思維模型。教師可在此基礎上幫助學生發現線條位置關系及其所蘊含的幾何規律，并將其作數學化處理，總結成為面積、體積計算公式。[4]

2.建構內部語言同數理符號的對應關系

內部語言作為溝通數理符號與直觀演算的橋梁，應當成為教學者挖掘和把握的重要領地。教學者應當幫助學生建立數理演算和直觀演算的對應關系，并將此作為理解抽象數學模型的思維基礎。譬如，分數的理解方式有二，一是“一變多”，二是“多選多”。引導學生由“直觀想象”到“數理表達”再到“模型建構”，便是此項之目標。[5]

3.潛移默化與認知平衡

無意識記憶的結點是散漫和隨機的，但無意識領域在精神層次和人格動力通道中的位置始終是固定的。這意味著，教師有機會通過潛移默化的方式將知識內容置入學生的無意識記憶領域中。譬如，趣味數學故事所包含的數學道理與模型實為授課之重點，教學者便可反其道而行之，以傳統強化方式機械傳輸某一非重點知識團塊，而將真正的重點以趣味妙思之形式一帶而過，記憶效果極可能產生對抗性。[6]

參考文獻

[1]魏雪峰，崔光佐，段元美.問題解決認知模擬及其教學啟示——以小學數學“眾數”教學為例[J].中國電化教育，2012（11）：135-139.

[2]曾建桐.小學數學問題解決認知分析、模擬及其教學啟示——以“異分母相加”問題為例[J].西部素質教育，2016，2（22）：154-155.

[3]魏雪峰，崔光佐，鐘靚茹.小學數學學習困難學生解題策略認知模擬及啟示[J]. 現代教育技術，2016，26（04）：41-47.

[4]魏雪峰，崔光佐，徐連榮.基于認知過程分析的小學數學探究問題設計與應用研究[J].電化教育研究，2014，35（08）：101-107.

[5]黃月，崔光佐.利用認知建模深化解析小學數學問題[J].電化教育研究，2015，36（02）：104-110.

[6]吳曉超.基于“問題解決認知模式”的錯題分析及教學改進——以小學一年級數學“看圖列式”為例[J].北京教育學院學報（自然科學版），2015，10（01）：39-43.