數學歸納法在高中數學解題中的妙用

黃天舒

摘要：本文以數學歸納法的整體架構為突破口，對數學歸納法的基本原理和計算方式、理論和使用做出了探究，并闡述了數學歸納法在對幾何、數列、不等式以及數的整除證明方向的具體使用方式，旨在以使用數學歸納法解決問題來對高中生運算技巧、觀察能力、邏輯思考能力和處理綜合應用問題的能力加以鍛煉，使之能通過數學歸納法更高效的解題。

關鍵詞：數學歸納法；高中數學；解題技巧

數學歸納法一種針對證明某個自然數n相關的數學課題的解決手段，是在進行一定次數的檢驗、假定和討論來替代無窮次數的實例檢驗，進而達成充分證明命題成立的目標，換而言之，就是從一些特定狀況下總結成立規律，使用遞推的手段，從理論上對這種規律的無限推廣至一般情況，恰當的使用數學歸納法處理問題是高中數學教學范疇內應該掌握的方法[1]。

一、數學歸納法的一般原理

數學歸納法是從peano的自然數公理中衍生出來的，自然數存在下面幾條性質：

1、1為一個自然數。

2、所有確定為自然數的數值a，都肯定存在的后繼數a￠，并且a￠也應為自然數。

2、所有自然數的后繼數都不可能是1，也就是說11a￠。

4、一個自然數是只可能是某個特定數的后繼數，后者確實并非后繼數，也就是若aii=b時確定a=b成立。

5、如果某個自然數的集合含有1，而且含有a，也肯定含有a的后繼數a￠，如此這一集合含有全部自然數。

第五條即為數學歸納法的來源和成立判據。

形式：假定p（n）是有關自然數n的命題，如果確定有①p（1）；②"n∈N，如果p（n）存在→p（n+1）存在，那么p（n）對"n∈N都確定存在。

變式：假定p（n）為n這個自然數的命題，如果確定有①p（n0）（n0IN）；②”n∈N，n>n0，如果p（n）存在→p（n+1）存在。則存在p（n）對”n∈N，n>n0均確定存在。

按照數學歸納法原理的表述，在對自然數命題相關的證明時可對應的依照下面的步驟做處理：

1、證明p（1）能夠成立（奠基步驟）；

2、假定p（n）成立，得出p（n+1）也可以成立（歸納步驟）；

由1、2能夠得出p（1）對于"n∈N成立。

實際上它的核心思路是：從有限度的檢驗和一次性的邏輯推理當中，代替推廣到無數次的檢驗程序，證明其在所有證明范圍內都成立。endprint