中考復習與二次函數有關的常規壓軸題教學設計

石慧分

教學內容分析：

1. 1.函數是初等數學中最基本的概念之一，貫穿于整個初等數學體系之中，也是實際生活中數學建模的重要工具之一.二次函數在初中函數的教學中有重要地位，它不僅是初中代數內容的引申，更為高中學習一元二次不等式和圓錐曲線奠定基礎。

.在歷屆中考試題中，二次函數幾乎是壓軸題中不可缺少的內容；

2.二次函數的圖象和性質體現了數形結合的數學思想，對學生基本數學思想和素養的形成起推動作用；

3.二次函數與一元二次方程、不等式等知識的聯系，使學生能更好地將所學知識融會貫通.中考要求：

1.能描述二次函數的特征和由來，明確地闡述二次函數與有關對象之間的區別和聯系；

2.能在理解的基礎上，把二次函數的圖象及性質運用到新的情境中；

3.參加特定的數學活動，在具體情境中初步認識二次函數的特征，獲得一些經驗.

學情分析：

1.初三學生在新課的學習中已掌握二次函數的定義、圖象及性質等基本知識；

2.學生的分析、理解能力較學習新課時有明顯提高；

3.學生具有一定的自主探究和合作學習能力。

總體設計思路：

1.中考壓軸題歷來是中考區分度的一個至關重點，很多學生包括優等生對這個題基本采取放棄態度，究其原因除了本題第三小題確實需要較高的綜合能力之外，更多的是學生從心里上就畏懼此題，可以說對其有心里陰影也不為過。這對我們學生整體成績的提升是非常不利的。本節課試圖以一個例題為引，把每小題分拆開來，逐層分析，層層遞進，學習“庖丁解牛”的方法，讓學生深入到每一小題中去，親自體驗，再總結出相應的解題規律，從而揭開壓軸題的神秘面紗，打消學生的畏難心理，能以客觀的態度面對壓軸題，中考時能得到自己應得的分數，讓中考不留遺憾。。

2.通過本節課，作者還試圖讓學生明白，就算是壓軸題，實際上它的難度也是成梯度上升的，各個層次的學生都可以做一部分，得一點分。特別是第一小題特別容易得分，這對學生整體成績的提升是很有幫助的。

教學目標：

1. 知識與能力：掌握二次函數圖像與系數符號之間的關系。

2. 過程與方法：能根據已知條件求出二次函數的解析式；使學生掌握類比、轉化等學習數學的方法，形成既能自主探究，又能合作探究的良好學習習慣。

3.情感態度與價值觀：在教學中滲透函數美與函數數形結合的思想，讓學生在教學活動中學會與人相處，并體驗成功的喜悅。

教學重點：

根據不同已知條件，正確求出二次函數的解析式；熟悉二次函數的圖像性質。

教學難點：

在綜合題目中，熟練靈活地運用二次函數的圖像性質解決相關問題，體會數形結合思想。

教學的方法：與手段

啟發式教學、探究式學習。

授課類型：復習課 教學方法：啟發式教學、探究式學習

教學課件：自制Powerpoint課件 多媒體設備：計算機

教學過程設計：

一、直接拋出問題，引入課堂：

問題：如圖，直線 與x軸、y軸分別交于點A、B，經過A、B的拋物線與x軸的另一個交點為C（1，0）

（1）求拋物線關系式；

（2）在拋物線對稱軸上是存在一點P，使△PBC周長最小？若存在，求出點P坐標，若不存在，請說明理由；

（3）在線段AB上是否存在點Q，使以A、C、Q為頂點的三角形與△AOB相似？ 若存在，求出點P坐標，若不存在，請說明理由。

師：此題三個小題，每一小題都可單獨成題。那么，解決每一小題都需要哪些知識點？解決思路是什么？

下面我們一一來解決這些問題。

生：根據老師的提問，思考解決第一小題所需的知識及思路，并回憶二次函數解析式的幾種形式。

設計意圖：直接拋出問題，引起學生好奇心及求知欲，并

對第一小問有個初步的探索。

二、解決問題：

（一）、解決第一問：求拋物線的關系式

1.已知二次函數 與x軸交于 （1，0），（3，0），與y軸交于（0，3），求拋物線關系式。

2.已知二次函數頂點坐標是（1，1），點（3，9）在拋物線上，求拋物線關系式。

3.已知對稱軸為直線 的拋物線經過B（2，0）、C（0，4）兩點，求拋物線的關系式

師：解決以上三個小題，每個小題所需要的知識和方法有什么異同？

生：動手做題，并思考老師的提問，回答問題。

師生小結：待定系數法求拋物線的關系式常規情況

1.已知3點，關系式一般設為：一般式，列三元方程組

2.已知2點+對稱軸，關系式一般設為：頂點式，列二元方程組；

3.已知頂點+1點，關系式一般設為：頂點式，列一元方程。

設計意圖：通過類似題目訓練，總結出待定系數法求拋物線的關系式的一般方法。

解決問題：如圖，直線 與x軸、y軸分別交于點A、B，經過A、B的拋物線與x軸的另一個交點為C（1，0）

（1）求拋物線關系式；

師：問1：這個題中已知幾個點？如何求點坐標？

問2：拋物線關系式設為哪種形式？

生：根據教師提示及所學方法，解決此題。

師生：做題過程板書于黑板上。

設計意圖：通過講練結合，讓學生學會學以致用。

（二）、解決第二問：二次函數中面積、線段最值問題

1.如圖，點P為第一象限內拋物線 上一點，設四邊形COBP的面積為S，求S的最大值 .

師：（1）解決此題你有幾種方法？

（2）你的解題步驟是什么？

（3）大家分組討論。

生：用自己的方法嘗試解決此題，遇到困難時小組一起討論。

設計意圖：教會學生做完題目后要學會總結規律，內化成自己的方法。

師生小結：二次函數中求面積、線段最值問題的思路

1.求面積：

第一步：先把多邊形切割為幾個易計算面積的三角形或特殊四邊形；

第二步：把面積用含假設未知數的式子表示出來；

第三步：利用函數性質求出最值及所求點坐標。

.問題解決：

（2）在拋物線對稱軸上是存在一點P，使△PBC周長最小？若存在，求出點P坐標，若不存在，請說明理由；

師：（1）此題和上一題有何異同？

（2）你的解題步驟是什么？

（3）大家分組討論。

生：用自己的方法嘗試解決此題，遇到困難時小組一起討論。

師生：做題過程板書于黑板上。

設計意圖：教會學生做完題目后要學會總結規律，進行類比，不斷擴充自己的方法。

師生小結：二次函數中求面積、線段最值問題的思路

2.求線段：

第一步：由 “兩點之間，線段最短”，利用軸對稱找到所求點；

第二步：求出點所在直線關系式，用“求交點坐標”方法求出點的坐標。

（三）、解決第三問：二次函數中直角三角形、等腰三角形、相似三角形存在問題

（3）在線段AB上是否存在點Q，使以A、C、Q為頂點的三角形與△AOB相似？ 若存在，求出點P坐標，若不存在，請說明理由

師：相似三角形的判定有哪些？

生：回答出三角形相似的所有判定定理

師：如何理解定理中的“對應”二字？本題中，對應邊角定了嗎？

生：發現題中邊角并沒有對應，想到分類討論。

師：你是用哪條判定定理來做此題的？

生：想到此題中三角形的特殊性，想到了兩種思路：直角三角形判定的思路和一般三角形相似的思路。

師：請用你的方法完成此題。

生：立即完成此題。

師：各組選舉代表，分別總結自己的方法。哪種方法可操作性更強？

生：各組討論，發現并不是所有的思路都有可操作性。

師生：做題過程板書于黑板上。

設計意圖：對于較綜合的題目，教師要引導學生層層剖析，分解題目，遇到不定情況，學會分類討論；做完題目要梳理思路，尋求多種方法；對于方法的選擇，要選擇可操作性強的方法，并不是所有的思路都具有強操作性。

師生小結：二次函數中直角三角形、等腰三角形、相似三角形存在問題解題思路

直角三角形：（1）分類討論直角頂點 ；（2）利用“勾股定理逆定理或直角”求點。

等腰三角形； （1）分類討論頂角頂點；（2）利用“兩腰相等”求點。

相似三角形：（（1）分類討論對應點；（2）利用“成比例線段或交點”求點。