例談初中數學中構圖法的應用

祝捷

數學家G·波利亞曾說過：“畫一個假設圖形，假設它的各個部分都滿足題目條件，也許是邁出解題的重要一步。”初中平面幾何圖形的豐富變化，為我們“圖解”各類問題提供了無限可能。把一個具體數學問題圖形化，然后借助新的幾何模型進行求解的方法，叫做構圖法。作為一種特殊的技巧，構圖法在初中數學解題中有著廣泛的應用。

一、借助數軸構圖

例1 求 的最小值

析： 的含義為數軸上表示x的點到表示-2和4兩點的距離之和。

解：畫出數軸：

為使AP+PB最小，顯然點P在線段AB上。

故 時，原式值最小為6。

變式 求 的最小值

解：畫出數軸：

即在數軸上求一點P，使2PA+PB+3PC最小。

顯然點P在線段AC上。

∴2PA+PB+3PC=2（PA+PC）+PB+PC=2AC+PB+PC=14+PB+PC

為使PB+PC最小，顯然點P在線段BC上。

∴2PA+PB+3PC==14+BC=15，即 時，原式值最小為15。

二、借助長方形或梯形構圖

例2 利用幾何圖形證明平方差公式

證明：設正方形ABCD和CGFH的邊長分別為a，b。

將圖2-1中長方形EBGF剪下，拼到圖2-2中DHPQ的位置，

則長方形AEPQ長為 ，寬為 。

由S正方形ABCD-S正方形CGFH=S四邊形AEPQ，有 。

也可利用下面的圖2-3和2-4進行證明。

三、借助直角三角形構圖

例3 求 的最小值

析：顯然 時才能有最小值，由根式的形式可聯想勾股定理。

解：如圖3，作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=3，ED=2，連AE交BD于C，作EF∥BD交AB的延長線于F。

由作圖得AF=5，EF=BD=12。

∴AE= ，即原式最小值為13。

例4 △PQR中，PQ、PR、QR的長分為 、 、 ，求△PQR面積

析：先畫一個4×3的網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出△PQR，利用“割補法”計算面積。

解：由17=42+12，13=32+22，10=32+12，構圖如圖4。

∴S△PQR=

下面我們以例4為背景，借助構圖法來做一次有趣的拓展。

問題（1） 如圖5-1，一個六邊形被分成7個部分，其中正方形PRBA、RQDC、QPFE的面積分別為13、10、17，求六邊形ABCDEF的面積

析：先利用旋轉變換證明 。

解：如圖5-2，延長QP至點G，使GP=PQ，連GR

∵PRBA、QPFE為正方形

∴AP=RP，PQ=PF，∠GPF=∠APR=90°

∴∠GPF+∠APG=∠APR+∠APG，即∠APF=∠RPG

∵GP=PQ，PQ=PF

∴GP==PF

∴

∴

由GP=PQ，應有

∴ ，同理

∴S六邊形ABCDEF=S正方形ABRP+S正方形CRQD+S正方形PQEF+S△APF+S△BRC+S△DQE+S△PQR

=13+10+17+4×5.5=62

問題（2） 在問題（1）的基礎上，求六邊形中AF的長

析：只要轉求RG即可。這里我們可以借助平行四邊形構圖，利用平行四邊形各個邊的平方和等于兩條對角線的平方和求解。

解：如圖6，構造以GR、RQ為一組鄰邊的平行四邊形GRQH。

設RG=x，則有 ，解得

所以AF=RG=

我們可以把問題（2）推廣為一般情形：

問題（3） 如圖7-1，設一個三角形三邊長分別為 、 和 ，分別以 、 和 為邊長向外作正方形 、 和 ；連接相應頂點，得線段 ，以 為邊長向外作正方形 ；設正方形 、 和 的面積分別為 、 和 ，求正方形 的面積

解：構造平行四邊形如圖7-2，得 ，

即2（ ）=4 +4 ，解得S4=2S2+2S3-S1。

按照問題（3）的操作一直進行下去，我們可以得到一個“余弦樹”（圖7-3）。若正方形 的面積 ，則一定有Sn=2Sn-1+2Sn-2-Sn-3，其中 。

通過以上探索，我們可以歸納出圖7-1中兩個特殊結論。

結論（1） 正方形 、 、 和 所圍成的兩個三角形面積必相等

結論（2） 設正方形 、 、 和 的面積分別為 、 、 和 ，則必有

接下來我們將嘗試應用以上結論。

通過上面的案例，我們不難看出：初中數學中的構圖法解題，很好地體現了數形結合思想和轉化思想。該方法在使用的廣度和深度上，應該還具有很高的研究價值。我們不僅要在課堂外加強理論研修，更應在教學中關注此類方法的運用，讓學生經歷運用幾何模型研究問題的過程，從而有效地把各種數學知識聯系起來。