巧解排列組合問(wèn)題的有效手段

徐海杰

摘要：縱觀現(xiàn)在的高考數(shù)學(xué)試卷我們可以發(fā)現(xiàn)，有關(guān)排列組合的問(wèn)題每一年都是數(shù)學(xué)的高考內(nèi)容。雖然這個(gè)內(nèi)容大都是出現(xiàn)在一些填空題或者是選擇題中。但是為了能夠拿到排列組合的分?jǐn)?shù)，我們也應(yīng)該對(duì)此充分重視。根據(jù)日常中我們平時(shí)接觸到的排列組合問(wèn)題來(lái)看，這些題型都是跟實(shí)際生活有一定的聯(lián)系的，而且題型也非常多樣化。因此，我們應(yīng)該針對(duì)不同的題型研究出不同的解決方法，確保在遇到排列組合問(wèn)題的時(shí)候能夠得心應(yīng)手。在本文中，就針對(duì)于如何巧妙地解出排列組合問(wèn)題提出了一些方法。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；排列組合；手段

中圖分類(lèi)號(hào)：G634.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-9129（2017）12-0218-02

Abstract： throughout the present college entrance examination math test paper， we can find that the question about arrangement and combination is the content of mathematics college entrance examination every year. Although this content mostly appears in some fill - in questions or choice questions. But in order to get the scores of permutations， we should pay attention to them. According to the arrangement and combination problems we are exposed to in daily life， these questions are related to real life to a certain extent， and the questions are also very diverse. Therefore， we should develop different solutions for different types of questions， so as to ensure that we can handle the problem of arrangement and combination with ease. In this paper， some methods are proposed to solve the problem of permutation combination skillfully

Key words： high school mathematics； Permutation combination； methods

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常為橢圓、函數(shù)等一些復(fù)雜的問(wèn)題頭疼。但是，殊不知，有關(guān)排列組合的內(nèi)容也是高考中的常考點(diǎn)。排列組合看起來(lái)比較簡(jiǎn)單，但是題型比較多樣化，而且思維也比較抽象，解法非常多。稍有不注意，就會(huì)產(chǎn)生差錯(cuò)。因此，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們要著重注意。在解決有關(guān)排列組合的問(wèn)題的時(shí)候，我們首先就應(yīng)該清楚題目的本質(zhì)，將題目中所隱含的條件挖掘出來(lái)，根據(jù)不同類(lèi)型的題目選擇合適的方法來(lái)解決。

1 關(guān)于錯(cuò)位重排法的運(yùn)用

錯(cuò)位重排法是我們?cè)谂帕薪M合問(wèn)題中經(jīng)常可以用到的一種方法。而且，這種方法的使用非常簡(jiǎn)單，它有固定的結(jié)論，這種結(jié)論可以根據(jù)題目的內(nèi)容直接往上套，答案就呼之欲出了。在實(shí)際的問(wèn)題上，采用這種方法可以幫助我們快速地解出問(wèn)題的答案。這里錯(cuò)位重排法的結(jié)論就是：若是題目中有3個(gè)元素，那么采用錯(cuò)位重排法得出的答案就是2；如果題目中有4個(gè)元素，那么采用錯(cuò)位重排法得出的答案就是9，；而若是題目中有5個(gè)元素，那么采用錯(cuò)位重排法得出的答案是44。[1]根據(jù)這個(gè)方法，我們來(lái)舉個(gè)例子進(jìn)行說(shuō)明：

現(xiàn)在有四個(gè)小朋友一起比賽做小點(diǎn)心，每一個(gè)小朋友都需要做一份小點(diǎn)心。點(diǎn)心做好之后要求每個(gè)人去品嘗其中一份，但是卻不能品嘗自己的，問(wèn)一共有多少種不同的嘗法？

A.15種 B.12種 C.9種 D.6種

針對(duì)這道排列組合題，我們?nèi)羰菑钠匠５乃季S來(lái)考慮，那么就可以想象成每一個(gè)小朋友將自己的標(biāo)簽貼在自己做的點(diǎn)心上，求全部貼錯(cuò)的概率，這里就會(huì)得到9種貼法。雖然這種方式也能解出正確答案，但是我們?nèi)羰遣捎缅e(cuò)位重排法，就可以將四個(gè)小朋友看成4個(gè)元素，從而直接選擇C答案：9種。這樣一來(lái)，可以大大地節(jié)省我們的做題時(shí)間。

2 關(guān)于捆綁法的運(yùn)用

捆綁法是在解決排列組合問(wèn)題中運(yùn)用頻率非常高的一種解題方法。通常情況下，若是題目中要求某某的位置必須相鄰，那么一般就可以用捆綁法來(lái)進(jìn)行解答。首先，我們可以將題目中要求相鄰的元素看成一個(gè)整體，之后再與其他的元素進(jìn)行排列。[2]當(dāng)然，這兩個(gè)元素內(nèi)部的位置問(wèn)題也需要考慮到。針對(duì)這個(gè)方法，我們來(lái)舉一個(gè)例子：

現(xiàn)在有A、B、C、D、E五個(gè)人一起去爬華山，到達(dá)山頂之后，這五個(gè)人打算叫其他人幫忙拍個(gè)照合影留念。若是整體站成一列，A和B的位置要相鄰，那么一共會(huì)有多少種方法？

從這道題目中的已知條件我們可以知道，A、B要相鄰，那么就可以采用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題。首先，我們就將A和B捆綁在一起，將其看成一個(gè)元素。之后再將這個(gè)元素與其他剩下的三個(gè)人進(jìn)行排列，這里一共有A（4，4）種排法。之后，我們?cè)賮?lái)看A和B的內(nèi)部排序，一種有兩種排法。因此，通過(guò)分布乘法原理我們就可以算出，這道題一共有A（4，4）×2=48種排法。

根據(jù)這道例題我們可以知道，在我們實(shí)際解題過(guò)程中，若是需要運(yùn)用到捆綁法，那么就一定要注意到被捆綁元素中的內(nèi)部順序問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)，運(yùn)用捆綁法解題的過(guò)程都是“先捆綁，后排列”的。

3 關(guān)于插空法的運(yùn)用

在解答排列組合問(wèn)題中，我們通常會(huì)遇到一些條件表示某某之間不能相鄰，而對(duì)于這樣的問(wèn)題，我們就可以采用插空法來(lái)進(jìn)行解答。通常情況下，運(yùn)用插空法解答排列組合問(wèn)題的時(shí)候，我們通常是先將其他沒(méi)有限制性的元素進(jìn)行排列，之后再將有限制性的元素插空放進(jìn)去。[3]針對(duì)這個(gè)方法，我們來(lái)通過(guò)一個(gè)案例具體分析：

有12個(gè)小朋友一起排隊(duì)玩老鷹捉小雞，其中有8個(gè)小男孩和4個(gè)小女孩。要求小女孩之間不能挨著排，而且小女孩必須排在小男孩的中間，那么一共會(huì)有多少種排法？

針對(duì)這個(gè)例子，從題目中已知的條件我們就可以發(fā)現(xiàn)，這道題考查的就是不相鄰的問(wèn)題。因此，對(duì)于這樣的問(wèn)題，我們就可以采用插空法來(lái)進(jìn)行解答。其中，小男孩的位置是沒(méi)有限制的，所以我們可以先將這8個(gè)小男孩排列起來(lái)，一種有A（8，8）種排法，之后，我們?cè)賹⑦@4個(gè)小女孩穿插到男孩之間的空位中，這里一共有7個(gè)空位，所以一種有A（4，7）種排法。所以說(shuō)，在這道題中，就一共有A（8，8）A（4，7）種排法。

4 結(jié)束語(yǔ)：

有關(guān)排列組合的問(wèn)題，看起來(lái)比較簡(jiǎn)單，但是實(shí)際上解起來(lái)也是比較復(fù)雜的，這種題型也是最容易犯錯(cuò)的題型。因此，對(duì)于不同的題型，我們需要掌握不同的解題方法，才能讓我們用最快的速度解出最正確的答案。

參考文獻(xiàn)：

[1]袁煒.應(yīng)用插空法妙解排列組合問(wèn)題[J].中學(xué)教學(xué)參考，2017（35）：21.

[2]戴建忠.解排列組合問(wèn)題的十種常規(guī)技巧[J].新課程（下），2017（04）：72.

[3]王承超，向清耀.解排列組合題的若干技巧[J].高中生學(xué)習(xí)（試題研究），2016（Z1）：50-51.