淺談高中數學中數列求和的方法

狄春燕

【摘要】數列前n項和是高中數學必修五的重點內容，也是高考的重點考試內容。然而在平時做題時，往往我們容易理解并計算等差數列和等比數列的前n項和，但是對既不是等差數列又不是等比數列的前n項和顯得有難度，不知從何入手，尤其是裂項相消法和錯位相減法經常會計算出錯。這就要求我們從數列的通項入手，觀察其特征從而選擇不同的方法，這樣才可以更簡潔地解決問題。

【關鍵詞】高中數學；數列求和；裂項相消法；錯位相減法

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）07-0284-01

1.公式法——如果通過題目的已知條件我們可以判斷出數列是等差或者等比數列，那么我們就可以直接利用等差或者等比數列的前n

項和公式進行計算。

例1：在等差數列{an}中，Sn表示其前n項和，，

則S9=______________.

解：由等差數列的性質知，所以，即 ；

故由等差數列的前 項和公式得：.

2.分組求和法——有一類數列既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可。

例2：已知數列{an}的前n項和，求Sn.

解：由題知

.

3.裂項相消法——這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用。裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的。

例3：等比數列{an}的各項均為正數，且.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）設，求數列的前n項和Tn.

解：（1）設數列{an}的公比為q，由得，所以；

由條件可是q>0，從而，所以由得；

故數列{an}的通項公式為.

（2）

，

.

4.錯位相減法——這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，它主要適用于如果數列{an}是等差數列，數列{bn}是等比數列，求數列的前n項和時的方法。

例4：已知數列{an}是等比數列，且，數列{bn}是首相為1的等差數列，并滿足.

（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；

（2）求數列的前n項和Sn.

解：（1）設數列{an}的公比為q，數列{bn}的公差為d，

則由已知條件得：，從而解得

；

所以.

（2）由（1）知，所以

①

②

①-②得：

從而.

5.倒序相加法——如果一個數列{an}與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法；其實質就是可以把正著寫的和與倒著寫的和的兩個和式相加，從而可求出數列的前n和。

例5：已知函數，數列{an}中，

求數列{an}的前n項和Sn.

解：，

，設①

則②

①+②得：，所以，即.

參考文獻

[1]康司麒.淺析高中數學中數列求和的若干種方法[J].中外交流，2017年6期.

[2]郭建理.對比復習等差數列和等比數列[J].中學生數理化，2011年10期.endprint