淺談高中數(shù)學(xué)中數(shù)列求和的方法

狄春燕

【摘要】數(shù)列前n項(xiàng)和是高中數(shù)學(xué)必修五的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)考試內(nèi)容。然而在平時(shí)做題時(shí)，往往我們?nèi)菀桌斫獠⒂?jì)算等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，但是對(duì)既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和顯得有難度，不知從何入手，尤其是裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法經(jīng)常會(huì)計(jì)算出錯(cuò)。這就要求我們從數(shù)列的通項(xiàng)入手，觀察其特征從而選擇不同的方法，這樣才可以更簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)列求和；裂項(xiàng)相消法；錯(cuò)位相減法

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）07-0284-01

1.公式法——如果通過(guò)題目的已知條件我們可以判斷出數(shù)列是等差或者等比數(shù)列，那么我們就可以直接利用等差或者等比數(shù)列的前n

項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算。

例1：在等差數(shù)列{an}中，Sn表示其前n項(xiàng)和，，

則S9=______________.

解：由等差數(shù)列的性質(zhì)知，所以，即 ；

故由等差數(shù)列的前 項(xiàng)和公式得：.

2.分組求和法——有一類數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。

例2：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求Sn.

解：由題知

.

3.裂項(xiàng)相消法——這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的。

例3：等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.

解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由得，所以；

由條件可是q>0，從而，所以由得；

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.

（2）

，

.

4.錯(cuò)位相減法——這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，它主要適用于如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)的方法。

例4：已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且，數(shù)列{bn}是首相為1的等差數(shù)列，并滿足.

（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.

解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，數(shù)列{bn}的公差為d，

則由已知條件得：，從而解得

；

所以.

（2）由（1）知，所以

①

②

①-②得：

從而.

5.倒序相加法——如果一個(gè)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法；其實(shí)質(zhì)就是可以把正著寫的和與倒著寫的和的兩個(gè)和式相加，從而可求出數(shù)列的前n和。

例5：已知函數(shù)，數(shù)列{an}中，

求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

解：，

，設(shè)①

則②

①+②得：，所以，即.

參考文獻(xiàn)

[1]康司麒.淺析高中數(shù)學(xué)中數(shù)列求和的若干種方法[J].中外交流，2017年6期.

[2]郭建理.對(duì)比復(fù)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列[J].中學(xué)生數(shù)理化，2011年10期.endprint