計算二次特征值問題特征對導數的Nelson方法

劉建萍

摘 要：本文主要研究計算對稱二次特征值問題單特征對偏導數的直接法。該方法通過求解線性方程組得到特征對偏導數，僅需利用待求偏導數的特征對，而且可以得到特征對偏導數的精確解。我們將利用數值試驗說明該方法的有效性。

關鍵詞：二次特征值問題；特征值偏導數；特征向量偏導數；直接法

1 引言

特征對偏導數在結構穩定性分析、系統參數識別、有限元模型修正、結構優化設計等領域中具有應用等。本文主要考慮以下二次特征值問題特征對導數的計算：

（1-1）

其中 是在 的某個鄰域內解析的對稱矩陣值函數。

計算二次特征值問題特征對偏導數的方法主要有兩類：狀態空間法和n維空間法。狀態空間法把二次特征值問題轉化為廣義特征值問題，即狀態空間表示形式，然后在狀態空間中計算特征對的偏導數，此方法計算量較大。n維空間法利用二次特征值問題的特征對計算特征對的偏導數，計算量較小，在工程實際問題中很受歡迎。

Taylor與Kane[1]和Adhikari與Friswell[2]研究了在n維空間中計算非對稱二次特征值問題相應于單特征值的特征對一階、二階導數的模態方法，但他們提出的方法都要求二次特征值問題具有互異的特征值。Adhikari[3]通過把特征向量導數表示為無阻尼系統特征向量的線性組合，提出了一種近似計算對稱二次特征值問題相應于單特征值的特征向量導數的方法。以上方法需要用到二次特征值問題的多個特征對，計算量較大。

[4]將求解標準特征值問題的Nelson方法[5]推廣到二次特征值問題，提出了一種有效地在n維空間中計算二次特征值問題特征對導數的直接法。該方法通過求解線性方程組得到特征對導數的精確解，僅需待求導數的特征對。本文將介紹該方法，給出其算法原理與實現思想，并利用Matlab編程，對該方法進行了數值實驗。

本文第二節介紹計算標準特征值問題特征對偏導數導數的Nelson方法。第三節給出計算二次特征值問題（1）的特征對導數的Nelson方法。

2 計算標準特征值問題特征向量導數的Nelson法

本節考慮以下的標準特征值問題：

（2-1）

其中 是解析的矩陣值函數。

假設 是 上的一個單特征值， 是相應于它的特征向量。則由[6]可知，存在 的一個鄰域以及該鄰域內的一個解析函數 和解析向量值函數 ，使得 是 的特征值， 是相應的特征向量，并且 ， 。

Nelson提出了一種有效地計算特征對導數 的直接法。下面介紹該方法。為了討論方便起見，這里我們把 省略掉。

我們對（2-1）兩邊求導，可得：

（2-2）

設 是相應于 的左特征向量，我們在（2-2）的兩邊同時乘上 ，這樣就得到：

（2-3）

注意到（2-2）的系數矩陣的秩是 。為此，Nelson[5]先給式（2-1）

增加一個“約束”，即使得特解中的第 個分量等于零，其中：

為了能夠求出通解表達式的系數，我們對特征向量加上一個規范化條件

從而可以得到特征向量導數。

下面給出計算標準特征值問題特征對導數的Nelson法的具體步驟：

利用（2-3）求出特征值導數；

尋找 中絕對值最大的元素，且令此元素所在的行為第 行；

令 中第 行和第 列元素為零，對角元素Skk置為1外，這樣便獲得非奇異陣 ；

令 中相應的第 行元素為零，從而得到 ，其中 ；

求解方程組 便得特解 ；

計算出常數 ；

計算 cxi

3 計算二次特征值問題特征對導數的Nelson方法

設 是（1-1）在 上的一個單特征值， 是相應的特征向量。則由[6]可知，存在 的一個鄰域以及該鄰域內的一個解析函數 和它的解析向量值函數 ，使得

（3-1）

[4]將Nelson方法推廣到二次特征值問題，提出了一種有效地在n維空間中計算二次特征值問題特征對導數 的直接法。本節介紹該方法。

對方程（3-1）兩邊微分可得到：

（3-2）

上式為n維空間中二次特征值問題特征對導數的支配方程組。

在（3-2）兩邊左乘 ，注意到左邊為0，則得到特征值導數為：

（3-3）

顯然，特征向量導數滿足：

（3-4）

其中：

（3-5）

由于（3-4）的系數矩陣奇異，特征向量導數無法直接求得。對于單特征

值，系數矩陣零空間的維數是1。因此，特征向量導數能夠寫成

（3-6）

其中 和 待定。記 ，類似于求解標準特征值問題特征對導數的Nelson方法，我們通過求解如下方程組得到 ：

（3-7）

常數 由特征向量的正規化條件得到。設特征向量滿足規范化條件：

（3-8）

微分上式并代入（3-6）中重新整理得：

（3-9）

下面給出計算二次特征值問題特征對導數的Nelson法的具體步驟。

算法1：

利用（3-3）求出特征值導數；

尋找特征向量中絕對值最大的元素，且令此元素所在的行為第k行；

令 中第k行和第k列元素為零，對角元素Skk置為1外，這樣便獲得非奇異陣 ；

由（3-5）計算 ，令 中第 行元素為零，從而得到 ；

求解方程組 便得特解 ；

利用（3-9）計算出常數c；

由（3-6）計算特征向量導數。

算法1只需要待求導數的特征對信息，能給出特征對導數的準確解，保證了算法的數值穩定性，保持了結構矩陣的帶狀性，因此計算效率高。

4 數值試驗

本節我們給出數值例子，對算法1進行數值試驗。

例1：設 ， ， ， 且

取 。此時二次特征值問題模最大的特征對為：

，

由算法1可得到：

，

例2：該算例來源于一工程結構。設 ， ，

，

取L=0.8， ， ， c5為參數。

當c5為4時，模最大的特征對為：

，

用算法1得到：

，endprint