基于懸臂板扭轉模態(tài)測試材料剪切模量

王 正 曹 瑜 王韻璐 李敏敏

(南京林業(yè)大學材料科學與工程學院 南京 210037)

基于懸臂板扭轉模態(tài)測試材料剪切模量

王 正 曹 瑜 王韻璐 李敏敏

(南京林業(yè)大學材料科學與工程學院 南京 210037)

【目的】 探討基于懸臂板扭轉模態(tài)測試正交各向異性材料(木材)和各向同性材料剪切模量的原理和方法。【方法】 首先根據(jù)ANSYS計算的懸臂板一階扭轉振形，應用優(yōu)化原理分別得到垂直和平行于板中面位移w和u的一階扭轉振形函數(shù)，然后借助能量法導出懸臂板一階扭轉頻率與板材彈性模量和剪切模量的關系式，該式中的2個振形系數(shù)通過與動能、扭轉應變能和拉壓應變能相關積分計算，從振形系數(shù)計算值的二元線性回歸得到振形系數(shù)依賴于懸臂板寬長比和厚寬比的相關式。【結果】 導出的懸臂板一階扭轉頻率與板材彈性模量和剪切模量的關系式，只有在測出懸臂板一階彎曲頻率得到彈性模量后，才能應用這個關系式由懸臂板一階扭轉頻率推算出剪切模量。【結論】 導出了懸臂板一階扭轉頻率與彈性模量和剪切模量之間的關系式，其中振形系數(shù)依賴于懸臂板寬長比和厚寬比。該關系式動態(tài)測試剪切模量的正確性不僅得到低碳鋼、軋制鋁、桃花心木、白蠟木和輕木剪切模量仿真計算的驗證，還得到低碳鋼、西加云杉(徑切面和橫切面)、蒙古櫟(順紋)和油松(弦切面和徑切面)等材料剪切模量的動態(tài)和靜態(tài)試驗的驗證，且基于懸臂板一階扭轉模態(tài)與自由板扭轉振形法測試木材或各向同性材料的剪切模量相當吻合。基于懸臂板一階扭轉模態(tài)提供了一個應用懸臂板頻譜動態(tài)測試剪切模量的簡便和快速的方法，該方法不僅適用于測試木材的3個主向剪切模量GLT、GLR和GRT，還適用于測試各向同性材料的剪切模量。

懸臂板； 扭轉振形系數(shù)； 動態(tài)測試； 剪切模量

Abstract： 【Objective】 The principle and method of testing shear modulus of orthotropic materials(wood)and isotropic materials based on the torsional mode of cantilever plate are discussed.【Method】 Firstly, based on the first-order torsional vibration shapes of the cantilever plate according to the ANSYS calculation, the first-order torsional vibration shape function of the displacementwandu, which are perpendicular and parallel to the middle of the plane respectively,are obtained by applying optimization principle. Then, the energy method is used to derive the relational expressions between the first-order torsional frequency and elastic/shear modulus of the cantilever plate, the two vibration shape coefficients are calculated through the integral related with kinetic energy, torsion/tension/compression strain energy, and the binary linear regression of the calculated value of the vibration shape coefficient depends on related expressions of the width-to-length ratio and thickness-to-width ratio.【Result】 The relational expressions derived between the first-order torsion frequency and elastic/shear modulus of the cantilever plate, it can be used to calculate shear modulus by the first-order torsional frequency only after obtaining elastic modulus through measuring the first-order bending frequency of the cantilever plate.【Conclusion】 The relationship between the first-order torsional frequency and the elastic/shear modulus of the cantilever plate is derived, and the vibration shape coefficient is dependent on the width-to-length ratio and the thickness-to-width ratio. The correctness of relational expressions are verified not only by the dynamic shear modulus determined from low carbon steel, rolling aluminum,Swieteniamahagoni,FraxinusamericanaandOchromapyramidale, but also by the dynamic and static shear modulus tested from low carbon steel,Piceasitchensis(radial section and transverse section),Quercusmongolica(parallel to grain)，Pinustabulaeformis(tangential section and radial section)and so on. Based on the first-order torsional mode of the cantilever plate and the torsional vibration shape method of the free plate, shear modulus of wood or isotropic materials are in good agreement. The first-order torsional mode based on the cantilever plate provides a simple and rapid method to determine the dynamic shear modulus using cantilever plate. This method can be used not only to test wood shear modulusGLT,GLRandGRTin the three main directions, but also be applied in testing shear modulus of isotropic materials.

Keywords： cantilever plate； torsional vibration shape coefficient； dynamic test； shear modulus

彈性模量是材料特性的基本參數(shù)之一, 北美產的成材上均標有彈性模量值，木材加工業(yè)中實現(xiàn)了通過成材的彈性模量值導出其成材強度指標的目標。早期曾用連續(xù)測試機裝置測試成材的彈性模量, 但由于連續(xù)測試機需要巨額投資, 顯然不能成為合適的測試成材彈性模量設備。20世紀80年代以來，國內應用無損檢測的應力波法和動態(tài)振動法測試成材的彈性模量(王志同， 1991； 王志同等， 1995； 劉鎮(zhèn)波等， 2005； 張厚江等， 2005； 王正， 2007； 王正等， 2013； 2015)，其中，動態(tài)振動法因具有快速、簡便、重復性好等優(yōu)點，被廣泛應用于刨花板、密度纖維板等準各向同性材料以及木材彈性模量值的動態(tài)測試。實際上，剪切模量也是材料特性的基本參數(shù)之一, 反映了材料或構件的抗剪切能力，已應用于新一代重型木結構交錯層積材(CLT)的剛度、強度計算和設計中(Gulzowetal.， 2011)。但由于剪切模量動態(tài)測試的原理高深，技術困難，使得木材和木質復合材料剪切模量動態(tài)測試的進展速度較為緩慢，在此方面所發(fā)表的文獻也較少。胡英成等(2001a)應用應力法測試了刨花板、膠合板的剪切模量； 胡英成等(2001b)采用考慮剪力和梁截面的回轉效應對梁彎曲頻率影響的TGH法測試了膠合板的剪切模量。周海賓等(2007a)考慮剪力和回轉慣性對自由梁自振頻率的影響, 在一階和二階自振彎曲頻率中包含彈性模量E和剪切模量G2個彈性常數(shù), 采用迭代方法得到了剪切模量G； 周海賓等(2007b)引用一個懸臂矩形桿件扭轉振動方程，并通過檢測懸臂桿件的一階扭轉頻率推算出了木質復合板的剪切模量G。王正等(2014)和程可等(2015)分別用自由板扭轉振形法測試了木材和各向同性材料的剪切模量，其正確性得到剪切模量仿真計算、動態(tài)試驗和靜態(tài)試驗3方面的驗證，但其采用自由板為試件測試各向同性材料和木材剪切模量的方法，是不同于用懸臂梁或懸臂板為試件測試刨花板和膠合板等木質復合材料剪切模量的。

木材加工業(yè)中對彈性模量和剪切模量的測試通常采用懸臂梁作為試件，因此本文以懸臂板為試件，提出了另一種動態(tài)測試木材和各向同性材料剪切模量的方法。懸臂板的扭轉不像自由板，屬于約束扭轉, 即扭轉時橫截面上不但存在扭轉剪應力, 還存在拉伸或壓縮正應力。從能量角度來說, 當懸臂板扭轉時, 不僅要考慮動能和扭轉應變能, 還要考慮與橫截面上拉(壓)正應力相應的拉(壓)應變能，因此應用能量法導出的是剪切模量與懸臂板一階扭轉頻率和彈性模量的耦合關系式，只有在確定了材料的彈性模量后,才能應用這個耦合關系式從懸臂板的一階扭轉頻率測試值推算出剪切模量。但幸運的是，較易用材料的懸臂板一階彎曲頻率值推算得到其彈性模量。用懸臂板測試剪切模量, 引入了2個振形系數(shù)，其中一個振形系數(shù)C1與懸臂板作一階扭轉振動時的扭轉應變能和動能比值有關，另一個振形系數(shù)C2與懸臂板作一階扭轉振動時的拉(壓)應變能和扭轉應變能比值有關。若只用與振形系數(shù)C1相關項的計算值估計其剪切模量，會過高地估計剪切模量，要得到正確的剪切模量測試值必須要用與C1相關項的計算值減去與C2相關項的計算值。當以長寬比等于1或2的懸臂板為試件測試剪切模量時，必須計入與C2相關項。本文的特色之一是引入振形系數(shù)C2，從而保證了通過懸臂板試件一階扭轉頻率測試值推算其剪切模量的正確性。文中，通過懸臂板扭轉模態(tài)方法測試材料剪切模量的正確性得到了靜態(tài)方板扭轉試驗和剪切模量仿真計算的驗證。此外，還比較了同一材料、同一試件用自由板扭轉振形法(王正等， 2014； 2016)和基于懸臂板扭轉模態(tài)法所測試的剪切模量。基于懸臂板扭轉模態(tài)測試剪切模量是一個應用懸臂板頻譜簡便、快速測試剪切模量的方法，適用于測試各向同性材料和正交各向異性的木材剪切模量。

1 剪切模量與懸臂板一階扭轉頻率關系

1.1懸臂板的一階扭轉振形函數(shù)

設懸臂板長為l(x向), 寬為b(y向), 厚為h(z向), 見圖1。

圖1 懸臂板坐標系Fig.1 Cantilever plate coordinates

懸臂板一階扭轉振動的z向位移w(x,y,t)=W(x,y)sinωt, 其中振形函數(shù)W(x,y)可表示為：

W(x,y)=A(x+B/Ax2/l+C/Ax3/l2+

或用角點位移W(l,b/2)表示為：

W(x,y)=kwW(l,b/2)(x+awx2/l+bwx3/l2+

kw按x=l、y=b/2的W(x,y)=W(l,b/2)決定。在模態(tài)分析時若采用單位長度歸一, 即W(l,b/2)=1, 則kw=A。系數(shù)aw、bw、cw和dw由優(yōu)化原理和懸臂板振形沿其長邊z向分量w確定。

截面扭轉角為:

cwx4/l3+dwx5/l4)sinωt。

懸臂板扭轉屬約束扭轉, 矩形橫截面上除扭轉剪應力外，還存在正應力。正應力與懸臂板x向位移u有關。考慮x向位移u沿板厚度的變化，根據(jù)計算的振形，桿件一階扭轉模態(tài)的軸向位移u相應的振形函數(shù)U(x,y,z)可表示為:

u(x,y,z,t)=U(x,y,z)sinωt

U(x,y,z)=kuU(l,b/2,h/2)(x+aux2/l+

ku按x=l、y=b/2、z=h/2的U(x,y,z)=U(l,b/2,h/2)決定,ku=1/(1+au+bu+cu+du)。系數(shù)au、bu、cu和du由優(yōu)化原理和懸臂板振形沿其長邊x向(軸向)分量u確定。

1.2動能

；

1.3應變能

1.3.2 拉壓應變能 考慮矩形截面桿件扭轉時與截面上正應力相關的應變能(Uσ)max:

根據(jù)Tmax=(Uφ)max+(Uσ)max, 有

(1)

式(1)右邊第1項是未計入正應力影響、僅考慮扭轉剪應力時推算G的關系式(為今后敘述方便, 其推算值稱為Guncorrected), 第2項是計入正應力影響的修正項(其計算值稱為Gcorrected),G=Guncorrected-Gcorrected。由于懸臂板在扭轉時截面上存在正應力, 故可由扭轉頻率值推算剪切模量, 式(1)右邊第2項Gcorrected計入是必需的。

式(1)表明: 對于懸臂板利用一階扭轉頻率推算剪切模量時, 要用一階彎曲頻率推算出彈性模量E后, 將其代入式(1), 才能用一階扭轉頻率推算出剪切模量G。

2 振形系數(shù) C1、C2

振形系數(shù)與板材料和尺寸有關。下面分別給出各向同性材料(低碳鋼)和正交各向異性材料(木材)振形系數(shù)依賴于懸臂板寬長比和厚寬比的關系式。2.1低碳鋼振形系數(shù)

對于低碳鋼l/b=1～7、b/h=4～50等24種不同長寬比和寬厚比的懸臂矩形桿件, 應用ANSYS軟件solid45單元進行模態(tài)分析, 輸入材料特性參數(shù): 彈性模量E=200 GPa, 泊松比μ=0.28, 密度ρ=7.8 g·cm-3。從模態(tài)分析的一階扭轉振形得到C1、C2, 并應用二元回歸分析得到C1、C2依賴于懸臂板寬長比和厚寬比的相關式。低碳鋼的彈性模量、剪切模量和懸臂板一階扭轉頻率的關系可表示為：

(2)

式中:C1=7.278 2+2.244 0b/l-1.332 9h/b(R=0.995 0,n=24)；C2=-0.002 3+0.129 2b/l-0.113 0h/b(R=0.995 2,n=24)。

2.2木材振形系數(shù)

在進行ANSYS模態(tài)計算時, 對云杉(Piceaasperata)、山毛櫸(Faguslongipetiolata)和歐洲赤松(Pinussylvestris)3個樹種的弦切面、徑切面和橫切面(水平面)試件送入相應的主向彈性常數(shù)(王正等， 2014； 2016； 尹思慈， 1996)。

弦切面、徑切面試件計算的懸臂板尺寸為l/b=5、4、3和2,b/h=5、6.83、10.08和13.67, 每個樹種的試件尺寸有16種組合。橫切面試件計算的懸臂板尺寸為l/b=4、3和2,b/h=5、6.83、10.08和13.67, 每個樹種的試件尺寸有12種組合。

采用ANSYS軟件solid45單元, 輸入材料特性參數(shù), 進行ANSYS模態(tài)分析。從模態(tài)分析結果中取出一階扭轉振形, 根據(jù)一階扭轉振形的z、x向位移分量w、u擬合得到云杉、山毛櫸和歐洲赤松在不同寬長比和厚寬比下的懸臂板振形系數(shù)C1、C2。

為尋求適用于不同樹種, 即適用于木材的C1、C2隨b/l、h/b的變化規(guī)律, 首先將同一寬長比、同一厚寬比下的3個樹種C1、C2取平均值作為木材在該寬長比、厚寬比下的C1、C2數(shù)值, 再對其作二元回歸分析，得到木材振形系數(shù)C1、C2依賴于懸臂板寬長比、厚寬比的回歸關系式。對于木材有：

(3)

式中:弦切面C1=7.343 7+5.689 0b/l-2.185 9h/b(R=0.996 5,n=16)；C2=0.004 82+0.040 78b/l-0.034 15h/b(R=0.988 5,n=16)。徑切面C1=7.480 9+4.462 4b/l-2.998 0h/b(R=0.991 7,n=16);C2=0.007 63+0.040 32b/l-0.053 51h/b(R=0.963 8,n=16)。橫切面C1=7.089 6+6.021 2b/l-0.512 1h/b(R=0.999 8,n=12)；C2=-0.000 5+0.064 26b/l-0.007 31h/b(R=0.999 6,n=12)。

這里需說明的是，式(2)或式(3)的導出僅用了懸臂板一階扭轉模態(tài)中的振形模態(tài)參數(shù), 尚未用一階扭轉頻率這一模態(tài)參數(shù), 因此式(2)或式(3)的正確性還有待于驗證。以下從剪切模量仿真計算、剪切模量動態(tài)和靜態(tài)測試3個方面加以驗證，動態(tài)試驗驗證實質是測試懸臂板的一階扭轉頻率和一階彎曲頻率。

先用測試的一階彎曲頻率fb按下式推算彈性模量E(提摩盛科， 1963):

(4)

式中:fb為懸臂矩形桿件一階彎曲頻率。

然后將推算的E代入式(2)或式(3), 再用測試的一階扭轉頻率ft推算出剪切模量G。

3 剪切模量仿真計算

3.1低碳鋼和軋制鋁

為驗證式(2)的正確性，選用低碳鋼和軋制鋁對其進行剪切模量的仿真計算。ANSYS模態(tài)計算輸入的材料特性參數(shù)如下： 低碳鋼E=200 GPa,μ=0.28,ρ=7.8 g·cm-3;軋制鋁E=68 GPa,μ=0.34,ρ=2.7 g·cm-3。先用計算的一階彎曲頻率fb按式(4)推算彈性模量E，然后將推算的E代入式(2), 再用測試的一階扭轉頻率ft推算出剪切模量G, 剪切模量仿真計算過程及其結果如表1所示。

由表1可知：Gcorrected隨懸臂板長寬比減小而快速增加，為得到正確的剪切模量仿真值Gcorrected是必需的； 式(2)中振形系數(shù)雖由低碳鋼得到，但也適用于推算軋制鋁的剪切模量。

3.2木材

選擇桃花心木(Swieteniamahagoni)、白蠟木(Fraxinusamericana)和輕木(Ochromalagopus)3個樹種進行弦切面剪切模量的仿真計算以驗證式(3)的正確性。應用ANSYS程序輸入各自與弦切面相關的9個材料常數(shù)和密度(王正等， 2016)，計算出不同試件尺寸(試件寬度皆為123 mm)下的一階彎曲頻率fb和一階扭轉頻率ft, 用fb按式(4)推算出各自的彈性模量E后, 再將ft代入式(3)推算出剪切模量。計算過程和結果如表2所示。

表1 低碳鋼和軋制鋁剪切模量仿真過程及其仿真值Tab.1 Shear modulus simulation process and values of low carbon steel and rolling aluminum

表2 桃花心木、白蠟木和輕木剪切模量仿真值及其規(guī)范值①Tab.2 Shear modulus simulation and standard values of Swietenia mahagoni, Fraxinus americana and Ochroma lagopus

①括號內的數(shù)據(jù)表示剪切模量仿真值與規(guī)范值的比值。The data in parentheses represent the radio of the shear modulus to the standard value.

由表2可知: 1) 對于3個樹種, 長寬比2～6.83、寬厚比6.83～13.67的懸臂板, 仿真計算的剪切模量與其規(guī)范值相差均小于7%； 2) 隨著桿件長寬比減少，Gcorrected項影響快速增加，說明G的修正項是必需的。這就從仿真角度驗證了式(3)的正確性。從表2所列的彈性模量數(shù)據(jù)還發(fā)現(xiàn)，用計算的一階彎曲頻率代入到式(4)推算出的彈性模量與應用ANSYS模態(tài)程序送入的彈性模量數(shù)值幾乎是相同的。

4 剪切模量試驗

4.1動態(tài)試驗框圖

圖2為測量懸臂矩形桿件頻譜的試驗框圖。加速度計安裝于懸臂板長邊距固定端0.2～0.3l處。錘擊試件角點，激勵懸臂板自由振動, 通過加速度計接收振動信號并轉換為電信號輸出, 再經(jīng)AZ-802型調理儀將電信號放大、濾波后輸入到采集箱，經(jīng)AD轉換將模擬信號變?yōu)閿?shù)字信號, 最后應用信號和系統(tǒng)分析軟件SsCras處理并在計算機屏幕上顯示試件頻譜，從頻譜上可讀取試件的一階彎曲頻率和一階扭轉頻率。

推薦用互功率法識別懸臂板試件頻譜圖上的一階彎曲頻率和一階扭轉頻率。

4.2測量對象及其試件尺寸

低碳鋼剪切模量的動態(tài)測試： 鋼板試件公稱尺寸360 mm×60 mm×3 mm, 實現(xiàn)懸臂夾持, 外伸長度300 mm(l/b=5)。

西加云杉(Piceasitchensis)順紋-徑切面剪切模量GLR動態(tài)測試： 實測西加云杉的氣干密度為0.373 g·cm-3，對500 mm×123 mm×12.2 mm的矩形板, 其夾持深度為50 mm, 以實現(xiàn)450 mm×123 mm×12.2 mm的懸臂板試件。

圖2 測量懸臂矩形桿件頻譜的試驗框圖Fig.2 Test diagram for measuring spectrum of rectangular cantilever bar

西加云杉水平面剪切模量GRT的動態(tài)測試： 試件公稱尺寸300 mm×60 mm×12.2 mm，其夾持深度60 mm,實現(xiàn)l/b=4的懸臂板試件。

蒙古櫟(Quercusmongolica)剪切模量的動態(tài)測試： 自由板試件公稱尺寸 910 mm×130 mm×18 mm，懸臂板試件公稱尺寸717 mm×130 mm×18 mm,其懸臂外伸長度650 mm。自由板試件借助王正等(2014)方法測得剪切模量后，將自由板試件截短作懸臂板試件。蒙古櫟試件來自地板毛坯料，既不是弦切也不是徑切向下料，故稱為蒙古櫟順紋剪切模量。

油松(Pinustabulaeformis)剪切模量GLT和GLR的動態(tài)測試： 試件公稱尺寸360 mm×60 mm×12.2 mm,其夾持深度60 mm，實現(xiàn)300 mm×60 mm×12.2 mm的懸臂板試件。

4.3方板剪切模量靜態(tài)扭轉試驗

采用方板靜態(tài)扭轉試驗測試剪切模量,以驗證基于懸臂板扭轉模態(tài)測試剪切模量原理和方法的正確性。方板扭轉試驗受力和粘貼應變片位置如圖3所示。

圖3 方板扭轉試驗示意Fig.3 Diagram of square plate torsion test

試件樹種與切面: 西加云杉徑切面和橫切面； 油松徑切面和弦切面； 蒙古櫟順紋。

為驗證動態(tài)測試剪切模量原理和方法的正確性，考慮同一樹種因產地不同引起材料彈性常數(shù)差異，故采用從懸臂板試件截取方板試件，且方板試件與懸臂板試件取相同的試件編號。

測試儀器設備為上海華東YD-28A型動靜態(tài)應變儀、BX120-5AA型應變片(阻值120 Ω、靈敏系數(shù)： 2.08%±1%、應變柵長度和寬度分別為5 mm和3 mm)和南京安正AZ308R型信號采集箱以及數(shù)據(jù)采集軟件。

砝碼加載:設定下限載荷和上限載荷, 若載荷差值記作ΔP, 相應的應變差值記作Δε, 則方板扭轉試驗測試的剪切模量計算式為：

每一試件進行3次測試, 取后2次剪切模量測試值的平均值作為該試件的剪切模量測試值。

5 結果與分析

5.1低碳鋼剪切模量的動態(tài)測試

懸臂鋼板1號試件頻譜如圖4所示。懸臂鋼板一階彎曲頻率推算彈性模量見式(4)、一階扭轉頻率推算鋼材剪切模量見式(2)，鋼材彈性模量和剪切模量測量值如表3所示。

圖4 懸臂鋼板1號試件頻譜Fig.4 Frequency spectrum of the first specimen of the cantilever steel plate

表3 鋼材彈性模量和剪切模量測量值Tab.3 Measured values of elastic modulus and shear modulus of steel

由表3可知，鋼材試件的彈性模量測量均值為191.2 GPa，變異系數(shù)為2.8%； 剪切模量測量均值為79.4 GPa，變異系數(shù)為3.0%。

5.2西加云杉剪切模量的動態(tài)測試

5.2.1 西加云杉順紋-徑切面剪切模量GLR動態(tài)測試 西加云杉徑切面X4懸臂板試件頻譜如圖5所示，從頻譜圖的第一高峰與第二高峰可讀取一階彎曲頻率為49.06 Hz、一階扭轉頻率為165.94 Hz。一階扭轉頻率測試值推算剪切模量的公式見式(3)，測試西加云杉順紋-徑切面剪切模量結果見表4。

圖5 西加云杉徑切面X4懸臂試件頻譜Fig.5 Spectrum of the cantilever specimen X4 made by Picea sitchensis(radial section)

表4 西加云杉順紋-徑切面剪切模量GLR動態(tài)測試值(實測密度373 kg·m-3)Tab.4 Dynamic test value GLR which is the shear modulus of radial section parallel to grain of Picea sitchensis (measured density=373 kg·m-3)

表4中最后一列括號內數(shù)值為自由支承狀態(tài)用500 mm×123 mm×12.2 mm試件按王正等(2014)方法測得的剪切模量： 平均值=0.682 GPa，標準離差=0.023 GPa，變異系數(shù)=3.3%。而表4中懸臂支承狀態(tài)測試剪切模量:平均值=0.673 GPa，標準離差=0.033 GPa，變異系數(shù)=4.9%。

5.2.2 西加云杉水平面剪切模量GRT的動態(tài)測試西加云杉水平面(橫面)XH1懸臂試件頻譜如圖6所示。從圖6頻譜圖的第一高峰與第二高峰可讀取一階彎曲頻率為51.88 Hz、一階扭轉頻率為150.63 Hz。

測試西加云杉水平面剪切模量結果見表5。

圖6 西加云杉水平面(橫面)XH1懸臂試件頻譜Fig.6 Spectrum of the cantilever specimen XH1 made by Picea sitchensis(cross section)

表5 西加云杉水平面剪切模量GRT動態(tài)測試值Tab.5 Dynamic test value GRT which is the shear modulus in cross section of Picea sitchensis

表5中，懸臂支承狀態(tài)測試西加云杉水平面剪切模量GRT:平均值=0.033 6 GPa，變異系數(shù)=11.2%； 而自由狀態(tài)測試西加云杉水平面剪切模量GRT:平均值=0.034 3 GPa，變異系數(shù)=12.3%(王正等， 2014)。

5.3蒙古櫟剪切模量的動態(tài)測試

蒙古櫟2號試件在懸臂板支承測得的頻譜如圖7所示。表6顯示了在懸臂支承下測得的蒙古櫟剪切模量。

圖7 蒙木櫟2號懸臂試件頻譜Fig.7 Spectrum of the secondcantilever specimen made by Quercus mongolica

表6中，用懸臂板支承狀態(tài)測得蒙古櫟剪切模量均值為1.40 GPa, 變異系數(shù)為14.6%； 按王正等(2014)借助自由板測得蒙古櫟剪切模量均值為1.39 GPa, 變異系數(shù)為14.3%(見表6最后一列括號內數(shù)據(jù))。

5.4油松剪切模量GLT和GLR的動態(tài)測試

由表7得知，油松徑切面剪切模量GLR在懸臂支承狀態(tài)下測試的均值為1.074 GPa，變異系數(shù)為9.7%。而在自由支承狀態(tài)下(見表7最后一列括號內數(shù)據(jù)，下同)測試油松徑切面GLR剪切模量的均值為1.041 GPa, 變異系數(shù)為10.6%(王正等， 2016)； 油松弦切面剪切模量GLT在懸臂支承狀態(tài)下測試的均值為0.757 GPa， 變異系數(shù)為10.7%； 弦切面剪切模量GLT均值為0.777 GPa，變異系數(shù)為15.2%(王正等， 2016)。

5.5方板剪切模量靜態(tài)扭轉試驗

結果見表8。

5.6動態(tài)測試和靜態(tài)方板扭轉測試的剪切模量比較

動態(tài)測試剪切模量包括基于懸臂板扭轉模態(tài)法和自由板扭轉振形法測試的剪切模量，其與方板靜態(tài)扭轉法測試的剪切模量如表9所示。

表6 蒙古櫟動態(tài)剪切模量測試值Tab.6 Test value of dynamic shear modulus of Quercus mongolica

圖8 油松(徑切面)懸臂試件Y4頻譜Fig.8 Spectrum of the cantilever specimen Y4 by Pinus tabulaeformis(radial section)

表7 國產油松徑切面GLR和弦切面GLT剪切模量動態(tài)測試值Tab.7 Dynamic test value of the shear modulus in radial sections GLR and shear modulus in tangential sections GLT of Pinus tabulaeformis

表8 蒙古櫟、油松弦切面和徑切面以及西加云杉徑切面和橫切面方板扭轉試驗測試的靜剪切模量Tab.8 The square plate torsion testing static shear modulus of the radial section and the tangential section by Quercus mongolica, Pinus tabulaeformis and the radial section and the cross section by Picea sitchensis

表9 蒙古櫟、油松和西加云杉剪切模量動態(tài)、靜態(tài)測試值對比Tab.9 The comparison of shear modulus by static and dynamic methods of Quercus mongolica, Pinus tabulaeformis and Picea sitchensis

由表9可知： 自由板扭轉振形法和基于懸臂板扭轉模態(tài)法測出的剪切模量相當吻合，說明測量參數(shù)與約束狀況無關，體現(xiàn)了測量參數(shù)是材料特性, 也說明了懸臂板的振形系數(shù)C1、C2用于測試剪切模量是正確的。基于懸臂板扭轉模態(tài)法、自由板扭轉振形法和方板靜態(tài)扭轉法測得的剪切模量從均值意義來說相當一致, 但就數(shù)據(jù)分散性而言, 動態(tài)測試的分散性小于靜態(tài),其原因為自由板和懸臂板皆是測試一階扭轉頻率獲得剪切模量測量值, 而頻率反映的是試件整體剛性, 對于靜態(tài)方板扭轉法是通過測量應變推算剪切模量, 應變是局部特性, 而且木材又是正交各向異性, 分散性大些就不難理解。從此意義上說, 動態(tài)測試G比靜態(tài)要優(yōu)越些。

對于金屬材料, 例如懸臂鋼板用本文方法測得的彈性模量和剪切模量均與規(guī)范值一致, 說明基于懸臂板扭轉模態(tài)的方法適用于測量金屬(各向同性材料)剪切模量。

對于木材，動態(tài)測試的主向剪切模量和方板扭轉試驗測得的主向剪切模量一致，說明基于懸臂板扭轉模態(tài)法適用于測試木材3個主向剪切模量。

5.7懸臂板一階扭轉頻率、彈性模量和剪切模量耦合關系式分析

懸臂板一階扭轉頻率推算剪切模量由2部分組成：

G=Guncorrected-Gcorrected。

從仿真計算結果(表1、表2)看到， 計入Gcorrected項后，G的仿真值才能與其規(guī)范值一致； 從動態(tài)測試和靜態(tài)測試結果(表9)看到，計入Gcorrected項后，G的動態(tài)測試值才能與靜態(tài)測試值或自由板動態(tài)測試值一致，這充分說明用懸臂板測試剪切模量，不能只用Guncorrected項加以計算，必須計入Gcorrected項。

從西加云杉、蒙古櫟和油松等樹種動態(tài)測試的剪切模量(表4～7)考查Gcorrected/Guncorrected(用百分數(shù)%表示)， 其結果見表10， 從表10看到Gcorrected/Guncorrected與樹種、試件主向面和試件長寬比有關， 隨著試件長寬比增加，Gcorrected/Guncorrected下降。

表10 西加云杉、蒙古櫟與油松剪切模量G中Gcorrected項占Guncorrected項的百分數(shù)Tab.10 Gcorrected/Guncorrected of Picea sitchensis, Quercus mongolica and Pinus tabulaeformis

對于木質刨花板和膠合板，可視為準各向同性材料， 可近似用各向同性材料式(2)計算不同長寬比和寬厚比下的C1和C2， 寬厚比等于30(b/h=30)的不同長寬比懸臂板的C1和C2值如表11所示。

表11 寬厚比b/h=30的各向同性懸臂板振形系數(shù)Tab.11 Vibration shape coefficients of isotropic cantilever plates(b/h=30)

6 結論

1) 彈性模量、剪切模量和懸臂板一階扭轉頻率之間滿足耦合關系式,其中的振形系數(shù)C1和C2可用懸臂板寬長比和厚寬比的相關式計算。

2) 懸臂板一階扭轉模態(tài)導出的彈性模量、剪切模量和懸臂板一階扭轉頻率之間耦合關系式的正確性得到金屬材料和木材剪切模量仿真計算的驗證。

3) 對于各向同性材料的金屬材料和各向異性材料的木材,以懸臂板為試件用動態(tài)法測試的剪切模量與用靜態(tài)方板扭轉法測試的剪切模量吻合得較好,靜態(tài)方板扭轉試驗驗證了基于懸臂板扭轉模態(tài)測試材料剪切模量的方法是正確的。

4) 懸臂板扭轉模態(tài)法與自由板扭轉振形法動態(tài)測試木材或各向同性材料的剪切模量相當吻合。

5) 懸臂板扭轉模態(tài)法提供了一種用懸臂板頻譜測試材料剪切模量的簡便、快速方法，該方法不但適用于測試木材3個主向剪切模量GLT、GLR和GRT,還適用于測試各向同性材料的剪切模量。

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(責任編輯 石紅青)

TestingShearModulusofMaterialsBasedonTorsionalModeofCantileverPlate

Wang Zheng Cao Yu Wang Yunlu Li Minmin

(CollegeofMaterialsScienceandEngineering，NanjingForestryUniversityNanjing210037)

TS643

A

1001-7488(2017)08-0101-12

10.11707/j.1001-7488.20170812

2016-03-21；

2016-06-20。

江蘇省高校優(yōu)勢學科建設工程項目資助(PAPD)； 2017年江蘇省林業(yè)科技創(chuàng)新與推廣項目(LYKJ[2017]41)； 2015年江蘇省大學生創(chuàng)新訓練計劃項目(201510298111X)。