基于范成法加工擺線內齒輪副的齒根過渡曲線分析

貴新成，李紅勛，李立順，牛四波

(1.陸軍軍事交通學院 研究生管理大隊，天津 300161；2.陸軍軍事交通學院 國家應急交通運輸裝備工程技術研究中心，天津 300161；3.68117部隊，蘭州 730070)

基于范成法加工擺線內齒輪副的齒根過渡曲線分析

貴新成1，李紅勛2，李立順2，牛四波3

(1.陸軍軍事交通學院 研究生管理大隊，天津 300161；2.陸軍軍事交通學院 國家應急交通運輸裝備工程技術研究中心，天津 300161；3.68117部隊，蘭州 730070)

精確的齒根過渡曲線對于齒輪彎曲強度的評價具有重要意義。結合機械生產實際，對現有常用的齒輪加工方法及其過渡曲線形式進行分析，從中選取具有代表性的加工方案，據此建立擺線齒輪加工刀具的齒廓模型。根據齒輪嚙合理論，推導擺線內齒輪副齒根過渡曲線的參數方程，實現其齒根過渡曲線的精確建模和輪齒彎曲強度的準確計算。

擺線齒輪；過渡曲線；范成法

Abstract：A precise root fillet curve has great significance for the evaluation of gear bending strength. According to the actual machinery production, the paper firstly analyzes the common gear machining method and its root fillet curve. Then, it selects a typical machining scheme and establishes the teeth profile model of cycloid gear cutting tool. Finally, it deduces the parametric equation of root fillet curve of internal cycloid gear based on gear meshing theory, and realizes precise modeling and accurate calculation of teeth bending strength.

Keywords：cycloid gear； fillet curve; generating method

齒輪是現代機械工業中非常重要的一種傳動基礎元件，盡管擺線齒輪早于漸開線齒輪，但漸開線齒輪中心距可分、切齒刀具簡單且具有通用性，因而應用最廣，幾乎占據了除鐘表工業以外的整個機械領域[1-3]。近年來，隨著制造加工技術的發展，擺線嚙合又獲得了生機，并憑借其自身優勢廣泛用作擺線針輪、Roots輪、泛擺線齒輪等齒形，特別是某新型內嚙合擺線齒輪的出現，有望改變傳統復合擺線齒輪只用于輕載、分度等領域的局面，可提供較高的承載能力。而高承載能力的一個重要方面就是具備較高的彎曲強度。由于輪齒彎曲強度與齒根過渡曲線圓弧半徑大小密切相關，且該圓弧是在齒廓加工過程中形成的，所以齒根過渡曲線和它的圓弧半徑直接取決于齒輪的加工方法、刀具的類型及其齒頂形狀[4]。以往的研究大多針對外齒輪，對于內齒輪的相關研究較少。為避免齒根過渡曲線的不確定性對齒輪彎曲強度的影響，有必要對擺線內齒輪副的加工工藝和刀具齒廓進行研究，并得到相應過渡曲線的定量描述[5-6]。

1 過渡曲線的形式與刀具齒廓

1.1過渡曲線的形式

根據文獻[7]，目前常見的齒根過渡曲線主要有以下5種。

(1)由齒頂為單圓角齒條型刀具滾切加工時，過渡曲線是一整段延伸漸開線的等距線。

(2)由齒頂為雙圓角齒條型刀具滾切加工時，過渡曲線是延伸漸開線的等距線，而中間的是齒根圓弧。

(3)由齒頂為單圓角齒輪型刀具滾切加工時，過渡曲線是一整段延伸外擺線的等距線。

(4)由齒頂為雙圓角齒輪型刀具滾切加工時，過渡曲線是延伸外擺線的等距線，而中間的是齒根圓弧。

(5)由成形銑刀仿形加工時，過渡曲線是一整段圓弧。

然而，以上所述都是針對外齒輪的加工，對于內齒輪，通常只能用齒輪插刀加工，故其過渡曲線為一整段縮短內擺線的等距線或兩段縮短外擺線的等距線加中間一段齒根圓弧。由于成形法加工的精度不高、效率也低，一般很少使用，所以在齒輪加工中通常都采用范成法，它是利用齒輪嚙合時其共軛齒廓互為包絡線的原理加工的。事實上，齒頂為單圓角的刀具可認為是齒頂為雙圓角刀具的特殊情況。因此，為研究方便又不失代表性，擺線外齒輪采用齒條型刀具加工，擺線內齒輪采用齒輪型刀具加工，且它們的齒頂均為雙圓角。

1.2刀具齒廓的參數

1.2.1 齒條型刀具

用以加工擺線齒輪的齒頂為雙圓角的齒條型刀具齒廓如圖1所示。各相關參數之間關系為

假設已知的齒條型刀具齒頂部分擺線的參數方程為

式中：rca為滾圓半徑；t為參變量。

圖1 擺線齒齒條型刀具齒廓

記齒條型刀具齒頂部分擺線與圓角切點A的坐標為(xc0,yc0)，則有

即

于是，齒頂部分擺線與圓角切點的橫坐標為

xc0=rca(t0-sint0)

根據微分法，易得齒條型刀具齒頂部分擺線與圓角切點的法線傾角為

1.2.2 齒輪型刀具

用以加工擺線齒輪的齒頂為雙圓角的齒輪型刀具齒廓如圖2所示。

圖2 加工擺線齒輪的齒輪型刀具齒廓

如圖3所示，假設已知的齒輪型刀具齒頂部分外擺線的參數方程為

式中：rc為刀具節圓半徑；rca為滾圓半徑；t為參變量。

圖3 外擺線的形成及其參數關系

∠AOM=∠AOC-∠COM=

(1)

于是，有

根據微分法，易得齒頂部分擺線與圓角切點的法線傾角為

在圖2中，以齒輪刀具中心Oc為坐標原點，以OcS為y軸，x軸與之垂直，設齒輪型刀具圓角圓心Cρ的坐標為(xCρ，yCρ)，則有

(2)

又因為

(3)

聯立式(2)、式(3)，便可求得刀具圓角圓心Cρ的坐標(xCρ，yCρ)和刀具圓角半徑r'ρ。

在ΔTOcCρ中，由余弦定理可得

由圖2、圖3以及式(1)，得

于是，可求得

式中zc為齒輪刀具的齒數。

2 擺線內齒輪副的齒根過渡曲線方程

2.1齒條型刀具加工擺線外齒輪

用齒條型刀具加工外齒輪時，刀具加工節線與外齒輪節圓相切并作相對純滾動。如圖4所示：Ρ為節點；nn為刀具圓角與過渡曲線接觸點的公法線；α'為nn與刀具加工節線之間的夾角。

圖4 齒條型刀具加工外齒輪的過渡曲線

取圖4中的坐標系Oxy，易得延伸漸開線等距線的參數方程為

(4)

式中，α'與φ之間有如下關系：

r1φ1=htanα'+l

(5)

2.2齒輪型刀具加工擺線內齒輪

用齒輪插刀加工內齒輪時，刀具加工節線與內齒輪節圓相切并作相對純滾動。如圖6所示：P為節點；nn為刀具圓角與過渡曲線接觸點的公法線；tt為兩節圓的公切線；α'為nn與tt之間的夾角。

圖5 齒輪型刀具加工內齒輪的過渡曲線

取圖5中的坐標系Oxy，易得縮短內擺線等距線的參數方程為

(6)

式中，β與φ之間有如下關系

式中z2是內齒輪的齒數。

3 計算實例

現以一對內嚙合擺線齒輪的范成加工為例，對其齒根過渡曲線和齒廓曲線進行圖像化表達，有關參數見表1。綜合上述分析，利用Matlab軟件編寫相關的計算程序，并分別繪制擺線內、外齒輪的過渡曲線以及完整的單齒齒廓，如圖6～圖9所示。

由圖7和圖9可知，外齒輪的齒根過渡曲線與齒根部分的內擺線、內齒輪的齒根過渡曲線與齒根部分的外擺線均在交點處平滑過渡，由此可以驗證上述方程推導和程序編制的正確性。

表1 內嚙合擺線齒輪副的有關參數

圖6 擺線外齒輪的過渡曲線

圖7 擺線外齒輪的完整齒廓

圖8 擺線內齒輪的過渡曲線

圖9 擺線內齒輪的完整齒廓

4 結 語

(1)本文結合機械生產實際，對現有常用的齒輪加工方法及其過渡曲線形式進行分析得出：齒輪加工方法或刀具類型的不同，得到的齒根過渡曲線就不相同；即便采用同一加工方法和加工刀具，如刀具的齒頂形狀不同，得到的過渡曲線亦不相同。

(2)選取具有代表性的加工方案，建立擺線齒輪加工刀具的齒廓模型，根據齒輪嚙合理論，推導了用以典型形狀為齒頂的常用范成刀具加工擺線齒輪時生成過渡曲線的方程，并由程序進行驗證。

(3)精確的齒根過渡曲線對于齒輪彎曲強度的評價具有重要意義，建立過渡曲線精準數學模型和由Matlab軟件編寫的計算程序，為提高齒輪結構設計和強度分析的準確性奠定基礎。

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(編輯：史海英)

RootFilletCurveofInternalCycloidGearBasedonGeneratingMethod

GUI Xincheng1, LI Hongxun2, LI Lishun2, NIU Sibo3
(1.Postgraduate Training Brigade, Army Military Transportation University, Tianjin 300161, China; 2.National Emergency Transportation Equipment Engineering Technology Research Center, Army Military Transportation University, Tianjin 300161, China; 3.Unit 68117, Lanzhou 730070, China)

● 基礎科學與技術BasicScience&Technology

10．16807/j.cnki.12-1372/e.2017.09.021

TH132.414

A

1674-2192(2017)09- 0091- 05

2017-03-20；

2017-04-15．

貴新成(1990—)，男，博士研究生．