基于高階累積量的改進Prony低頻振蕩辨識方法

朱先賢，趙 帥，賈宏杰

（天津大學智能電網教育部重點實驗室，天津 300072）

基于高階累積量的改進Prony低頻振蕩辨識方法

朱先賢，趙 帥，賈宏杰

（天津大學智能電網教育部重點實驗室，天津 300072）

廣域測量系統的不斷發展和進步，為基于Prony方法實現電力系統低頻振蕩的在線辨識提供了可能性。針對傳統Prony算法在辨識廣域測量系統監測信號過程中抗噪聲性能不足的問題，本文提出一種基于高階累積量的改進Prony算法用于低頻振蕩的在線辨識。該方法利用高階累積量技術具備的良好抗噪特性，能夠有效抑制廣域測量系統在采集和傳輸過程中產生的白色噪聲和有色噪聲。最后，利用典型正弦信號、新英格蘭10機39節點算例系統的仿真結果和實際電網測量數據驗證了所提方法的正確性和有效性。

高階累積量；高階統計量；低頻振蕩；Prony算法；廣域測量系統

Abstract:With the continuous development and improvement of wide area measurement system（WAMS），it is possi?ble to realize online detection of low frequency oscillation in power system using Prony algorithm.To overcome the poor anti-noise performance of the traditional Prony algorithm when it is used in the detection of WAMS monitoring signals，an improved Prony algorithm based on higher-order cumulant（HOC）is proposed in this paper.It is more effective in re?straining the white and colored noises generated in the acquisition and transmission process of WAMS，since HOC has better anti-noise performance.Finally，simulations on typical sinusoidal signals，New England 10-generator 39-node system and the data from an actual power grid verify the correctness and effectiveness of the proposed method.

Key words:higher-order cumulant（HOC）；higher-order statistic；low frequency oscillation；Prony algorithm；wide area measurement system（WAMS）

隨著發電量的不斷增長和高壓輸電系統的不斷擴展，我國電力系統已發展成為一個典型的大規模區域互聯系統。其中，因發電機快速勵磁系統或各區域間弱連接而造成的電力系統低頻振蕩成為影響系統安全穩定運行的一個重要因素。低頻振蕩通常包括局部模態和區間模態，局部模態涉及單個發電廠內發電機組和電力系統中其他發電機組之間的搖擺，振蕩頻率約為1～2 Hz；區間模態是指系統中兩個區域間發電機群的相對搖擺，其振蕩頻率約為0.1～0.7 Hz[1]。國內外研究人員對電力系統低頻振蕩問題進行了較多研究，主要集中在兩個方面：①從機理角度對低頻振蕩的產生原因和抑制手段展開研究，提出了如負阻尼機制、強迫振蕩機制、參數諧振機制、非線性理論機制等[2-3]；②對分析方法展開研究，常見的分析方法包括小干擾分析和信號分析兩類方法。小干擾分析方法可分為數值仿真方法、線性模型分析方法、非線性理論分析方法等[4]，這類方法適用于離線分析，然而在面對實際系統時會遇到“維數災”的問題。信號分析方法包括傅里葉算法、小波分析算法、Prony算法和希爾伯特-黃變換算法等[5]，這類算法能夠直接從運行數據中提取系統的低頻振蕩信息，因而具備在線應用潛力。其中，Prony算法能夠快速辨識出信號的幅值、頻率、衰減因子和相位等信息，在低頻振蕩在線辨識等領域中得到了較廣泛應用[6-12]。但傳統的Prony算法對噪聲較為敏感，因此提高Prony算法的抗噪性成為一個重要的研究方向[13-16]，如文獻[14-16]將神經網絡、小波變換及自適應模糊濾波等方法與Prony算法相結合，可以消弱算法對噪聲的敏感程度。此外，針對Prony算法只能采用局部信號分析且對噪聲敏感的特點，文獻[17]提出了一種固定窗口滑動的改進方法，提高了算法對噪聲的適應能力。

高階累積量HOC（higher-order cumulant）作為高階統計量中常用的工具之一，其在理論上可完全抑制信號中的高斯有色噪聲，從而較傳統功率譜或相關函數方法具有更好的抗噪性能力[18-19]。在電力系統領域，HOC已成功應用于暫態電能質量擾動信號識別、間諧波估計、風電場風速建模與仿真等領域[20-23]。

為了更好地提高Prony算法的抗噪性能，本文提出一種基于HOC的改進Prony算法HOC-Prony（Prony algorithm based on HOC），目的是實現電力系統低頻振蕩的在線辨識。該方法通過HOC對系統實時信號進行預處理，然后基于Prony算法提取系統低頻振蕩特征量，從而實現低頻振蕩在線分析。與傳統Prony算法相比，該方法具備了HOC方法在抑制高斯噪聲方面的優勢，因而能夠改善算法的抗噪性。最后，利用典型正弦信號、新英格蘭10機39節點算例系統的仿真數據及實際電網的量測數據驗證了所提方法的正確性和有效性。

1 Prony方法及其抗噪性能分析

1.1 Prony方法簡介

由廣域測量系統WAMS（wide area measure?ment system）采集的電力系統低頻振蕩信號可以由考慮高斯噪聲的數學模型表示為

式中：y（n）為WAMS觀測信號；x（n）為確定性信號；v（n）為高斯白色/有色噪聲。

若不考慮系統噪聲v（n），Prony算法將信號x（n）近似描述為p個指數函數的線性組合[14]，即

對應的Prony算法求解步驟如下。

步驟1 構造樣本函數的擴展矩陣Re為

式中：p為擴展矩陣的有效秩；pe為估計秩；樣本函數

步驟2 采用奇異值分解-最小二乘算法SVDTLS（singularvaluedecomposition-totalleastsquares）[13]確定有效秩p及在有效秩下的擴展矩陣R，建立Prony方法的法方程為

式中：εp為最小誤差能量；μi為法方程系數，通過最小二乘估計方法求取。

步驟3 求取

所示特征多項式的根zi。

步驟4 由式（2）建立未知參數為bi的線性方程并求解，即

步驟5 求解相關特征量的值，其公式分別為

如果將WAMS量測獲得的實時數據用式（1）加以描述，則通過求解振蕩頻率fi和衰減因子αi，可以獲得電力系統低頻振蕩模式的角頻率ωi和阻尼比ξi，其中ωi=2πfi，阻尼比計算公式為

1.2 Prony算法抗噪性能分析

利用Prony算法進行實際電力系統低頻振蕩的在線分析時，易受到采樣和傳輸過程中產生的各種噪聲干擾。如果采樣信號中含有噪聲，則樣本矩陣中的零空間將被噪聲空間所代替[20]，從而影響利用SVD-TLS計算擴展矩陣的有效階數，進而降低分析方法的計算精度。這里對正弦衰減信號進行Prony算法分析，其信號為

圖1為利用Prony算法恢復的原始信號與含噪聲信號的比較結果。從圖1中可以看出，經Prony算法恢復的信號與原始信號擬合度較好，但在原始信號的基礎上添加信噪比為30 dB的高斯噪聲后，Prony算法恢復的信號曲線出現明顯偏差。經Pro?ny算法計算獲得的振蕩頻率分別為0.369 5Hz和0.176 1Hz，衰減因子分別為－0.620 7和－1.191 6，顯然此時該算法無法滿足計算精度的需求。傳統Prony算法的抗噪性較弱，使得在實際應用中，很少直接采用其進行低頻振蕩分析。

2 基于HOC的改進Prony算法

2.1 HOC及其性質

HOC作為常用的高階統計量之一，具備對任意高斯隨機過程不敏感的特性，即能夠有效濾除信號中的白色或有色噪聲。若定義k個連續隨機變量x1，x2，…，xk的概率密度函數為f（x1，x2，…，xk），則對應的第1聯合特征函數可定義為

式中，f（x）為概率密度函數。

第2聯合特征函數定義為Φ(ω1,…,ωk)的自然對數為

由此，隨機變量x1，x2…，xk的r階聯合累積量可以定義為

在實際應用中，令r1=???=rk=1，則k個隨機變量的k階累積量為

如果定義t時刻的平穩連續隨機信號為x（t），那么由式（15）可知，x（t）的高階累積量用符號可以表示為

式中，τ為采樣時間間隔。

由HOC相關理論[18-19]可知，HOC具有如下重要性質。對于1個被觀測的信號x（n）且存在高斯有色噪聲v（n）時，其觀測過程y（n）的高階累積量滿足

當k＞2時，觀測過程y（n）與x（n）具備相同的HOC，因此利用HOC可以自動抑制高斯背景噪聲的影響。因此，利用HOC便可以有效降低WAMS中產生噪聲對低頻振蕩分析結果的影響。

2.2 4階累積量對角切片在低頻振蕩分析中的應用

在基于HOC的有色噪聲諧波恢復理論中，利用4階累積量的對角切片能夠有效抑制系統中噪聲并計算信號頻率、衰減因子等信息[24-25]。具體來講，由式（17）可以得到信號x（n）的4階累積量，即

由此定義4階累積量的對角切片c4x(τ)為

對式（1）所示的確定性信號x（n），c4x(τ)可表示[18]為

當信號含有高斯噪聲時，WAMS的觀測數據y（n）的4階累積量與x（n）的4階累積量相等。因此，兩者的對角切片同樣相等，即滿足

上述推導表明4階累積量的對角切片能夠保留原始WAMS采集信號的諧波個數、頻率等所需的有用信息。實際應用時，通過計算WAMS采集信號y（n）的對角切片可有效減少信號中所含有的噪聲，進而利用Prony算法計算對應的頻率、阻尼比等信息。因此，HOC能夠與低頻振蕩Prony算法有著很好的契合，可以提高Prony算法的抗噪性能。

2.3 低頻振蕩在線分析流程

考慮到WAMS采樣和傳輸電力系統實時數據的特點，本文提出的基于HOC-Prony算法的電力系統低頻振蕩在線辨識流程，如圖2所示。其中，為了避免頻譜混疊，采樣時間長度一般應包括最低頻率的2個周期，通常取l0～20 s[11]。

圖2 基于改進HOC-Prony算法的低頻振蕩分析流程Fig.2 Process of low frequency oscillation analysis based on HOC-Prony algorithm

辨識流程的主要步驟如下所述：

（1）對由WAMS采集的信號，進行去直流預處理；

（2）通過計算相應信號的HOC的對角切片，獲得處理后的信號；

（3）利用第1.1節中Prony算法計算系統的振蕩頻率和阻尼比等信息，并利用最小二乘曲線擬合技術計算信號的幅值。

3 算例分析

為驗證所提方法的正確性和有效性，本文采用正弦衰減信號、新英格蘭10機39節點算例系統仿真數據及實際電網WAMS數據分別對本文所提方法進行驗證。

3.1 給定正弦信號的Prony算法分析

針對第2.2節中式（12）所示的確定性信號y中分別加入不同信噪比的高斯白噪聲和有色噪聲，分別利用Prony算法和HOC-Prony算法計算對應信號的頻率、衰減因子，分析結果如表1所示。其中，本文采用百分比誤差PE（percentage error）作為衡量低頻振蕩在線辨識的效果指標[11]，其公式為

表1 基于Prony算法和HOC-Prony算法的正弦信號分析對比Tab.1 Comparison of the analysis of sinusoidal signal between Prony and HOC-Prony algorithms

從表1中可以看出，直接利用Prony算法分析含有噪聲的正弦信號時，其計算結果與原信號的百分比誤差較大。特別地，當信噪比為35 dB時，百分比誤差已經超過10%。顯然，傳統Prony算法已經無法滿足工程精度的要求，而采用本文所提的HOC-Prony算法，百分比誤差被控制在1%以內。由此可以看出，采用本文所提方法能夠有效改善Pro?ny算法的抗噪性能。

3.2 新英格蘭10機39節點算例系統

為驗證所提方法的有效性，采用新英格蘭10機39節點系統進行仿真分析，其接線如圖3所示。其中，仿真采用美國邦那維爾電力局BPA（Bonnev?ille power administration）程序，仿真步長為0.01 s，建立不同故障類型、Prony算法分析窗口長度和窗口位置等的場景進行分析，具體場景如下所述。

場景1：系統0 s時線路28-29首端發生三相短路故障，0.1 s故障解除，0.2 s切除38號節點處發電機功率150 MW，取1.2～12.0 s間數據進行計算。

場景2：系統0 s時線路28-29首端發生三相短路故障，0.1 s故障消失，0.2 s切除38號節點處發電機功率50 MW，取1.2～12.0 s間數據進行計算。

場景3：故障場景與場景2保持一致，1.0 s后開始進行分析，觀測窗口為10.0 s。

場景4：故障場景與場景2保持一致，1.0 s后開始進行分析，觀測窗口為15.0 s。

場景5：故障場景與場景2保持一致，觀測窗口為1.0 s到11.0 s之間的信號。

場景6：故障場景與場景2保持一致，觀測窗口為2.0 s到12.0 s之間的信號。

圖3 新英格蘭10機39節點系統Fig.3 New England 10-generator 39-node system

圖4 基于Prony和HOC-Prony算法對噪聲信號分析比較Fig.4 Comparison of the analysis of the signal with noise using Prony and HOC-Prony algorithms

圖4所示分別為場景1和場景2條件下，利用Prony算法和HOC-Prony算法對含噪聲信號進行分析后，擬合獲得的30號母線所連發電機相對于慣性中心的功角曲線。其中，含噪聲信號通過對原始仿真曲線添加30 dB的高斯白噪聲獲得。從圖4中可以看出，加入高斯白噪聲后，經Prony算法分析后所得的擬合曲線與原信號相比出現明顯的誤差，而采用HOC-Prony算法恢復得到的仿真曲線，其誤差明顯減小。

表2為不同場景下使用Prony和HOC-Prony算法的分析結果，其中分析信號均已經添加白噪聲。基于BPA的小干擾穩定性分析程序計算出系統的主導頻率為1.03 Hz，阻尼比為0.009。從表2中數據可以看出，各個場景基于Prony算法分析獲得的頻率結果誤差不大，但阻尼比的誤差較大，這表明信號含有的噪聲已經影響到Prony算法的性能。而使用HOC-Prony算法計算獲得的分析結果，其誤差相對較小。因此，HOC能夠很好地抑制噪聲，有效彌補了Prony算法本身抗噪能力較差的缺陷。

表2 不同場景條件下Prony和HOC-Prony算法分析結果Tab.2 Analysis results using Prony and HOC-Prony algorithms in different scenes

3.3 實際電網

為進一步驗證所提方法在實際電網中的有效性和實用性，本文以南方某電網實際WAMS采集的實時數據進行分析。其中，實際電網某日因500 kV變電站在復電過程中發生AB相間短路故障，進一步導致主變跳閘及直流閉鎖，該故障導致南方某電網發生低頻振蕩。由于WAMS采集的信號本身已經含有有色噪聲，因此本文并未對實時數據人工添加任何噪聲。

WAMS記錄下故障前、故障中、故障后累積120 s實時數據，其中硯崇甲線（YC-J）、羅百I線（LB-I）、天金線（TJ）、梧羅I線（WL-I）功率的實時檢測獲得的線路有功功率數據如圖5所示。從圖5中可以看出，故障前功率信號較平穩，但實時數據受到了噪聲的影響，故障發生后線路功率發生較大波動，振蕩后趨于平穩。

圖5 YC-J、LB-I、TJ、WL-I的有功實時監測Fig.5 Real-time monitoring of active power on linesYC-J，LB-I，TJ and WL-I

圖6為實時監測信號的局部放大圖，其中圖6（a）～（d）依次對應YC-J、LB-I、TJ和WL-I的實時監測信號。從圖6中可以看出，各條線路的有功功率信號不同程度地受到了WAMS在采集和傳輸過程中的噪聲污染。

圖6 實時監測信號局部放大曲線Fig.6 Partially enlarged real-time monitoring signals

對上述線路的有功功率曲線分別使用Prony算法和HOC-Prony算法進行諧波恢復，如圖7所示。其中，實線為4條線路的實測數據，虛線和點線分別為經Prony和HOC-Prony算法恢復的數據曲線。從圖7中可以明顯地看出，傳統Prony算法獲得的恢復信號與原始信號曲線差異顯著。而采用HOCProny算法則能夠更有效地恢復實際WAMS的含噪聲信號。

圖7 利用Prony和HOC-Prony算法恢復實際電網信號結果比較Fig.7 Comparison of restored signals of actual grid using Prony and HOC-Prony algorithms

表3為兩種算法計算獲得實際系統的主導振蕩頻率和阻尼比。根據實際系統故障仿真分析報告可知，因上述故障導致系統的主導振蕩頻率在0.38 Hz左右，阻尼比在0.10左右。從表3可以看出，采用Prony算法直接進行分析，不能有效計算出主導頻率及其對應的阻尼比。而采用本文所提HOC-Prony算法進行分析，主導頻率和阻尼比的計算誤差相對較小，可以準確地計算出系統的振蕩頻率和阻尼比。因此，本文所提HOC-Prony算法在對實際WAMS采集的實時數據進行分析時，能夠有效減少因系統噪聲而帶來的分析誤差。

表3 實際電網Prony和HOC-Prony算法分析結果Tab.3 Analysis results of an actual power grid using Prony and HOC-Prony algorithms

4 結語

針對傳統Prony算法抗噪性能不足的問題，本文提出一種將HOC和Prony算法相結合的HOCProny算法，并利用該方法實現電力系統低頻振蕩的在線辨識。HOC-Prony算法利用高階累積量技術對WAMS中的信號進行預處理，從而有效改善了傳統Prony算法辨識方法的抗噪性能。利用典型正弦信號、新英格蘭10機39節點算例系統的仿真結果，以及實際電網的故障量測數據驗證了所提方法的正確性和有效性。

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Improved Prony Method Based on Higher-order Cumulant for Low Frequency Oscillation Detection

ZHU Xianxian，ZHAO Shuai，JIA Hongjie
（Key Laboratory of Smart Grid of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

TM76

A

1003-8930（2017）09-0001-08

10.3969/j.issn.1003-8930.2017.09.001

2015-06-11；

2017-04-06

國家自然科學基金資助項目（51277128）；國家電網公司重大科技專項資助項目（SGCC-MPLG028-2012）

朱先賢（1989—），女，碩士研究生，研究方向為電力系統低頻振蕩及相關算法。Email：zhuxianxian94@163.com

趙 帥（1986—），男，博士研究生，研究方向為電力系統數字仿真、建模及穩定控制。Email：zm_darst19860702@126.com

賈宏杰（1973—），男，博士，教授，研究方向為電力系統安全與穩定性、配電系統優化規劃。Email：hjjia@tju.edu.cn