多元函數的Taylor公式及其應用

張雁磊

【摘要】我們知道一元函數的Taylor展式[1]在一元函數的微分學中有著重要的應用，而多元函數的Taylor展式在多元函數的微分學中同樣有著重要的作用。本文首先給出多元函數的Taylor展式及其唯一性的證明，然后給出例題說明Taylor的重要應用。

【關鍵詞】多元函數；Taylor展式；唯一性；應用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）02-0282-02

一、多元函數Taylor展式唯一性定理

這里只給出二元函數的Taylor展式及其唯一性定理的證明，對于多元函數Taylor展式[2]及其唯一性定理可進行類似的證明。

定理：假設f（x，y）具有n+1階連續偏導數[3]，則在（x0，y0）用某種方法可得展開式：

（1）

其中：

則必有：

證：已知f（x，y）有n+1階連續偏導數，故f（x，y）的Taylor公式成立：

（2）

（1）減（2）式，便得0函數展開式

（3）

其中：

因此，我只要由式（3）推出Bij=0（i+j=0，1，2…n）即可，作變換ζ=x-x0，η=y-y0，對于變量（ζ，η），式（3）變成為：

（4）

現證明Bij=0（i+j=0，1…n，i，j為非負正數）

首先在上式中，令ρ→0，便得B00=0

再令η=αζ則（4）式變成：

（5）

設ζ≠0，用ζ除此（5）式，令ζ→0，得 B10+αB01=0因為α為任意實數，所以B10=B01=0此時（5）式成為：

（6）

類似地，（6式）除以ζ2，再令ζ→0，得B20+αB11+α2B02=0由α為任意實數，便得B20=B11=B02=0從而（6）式變成：

如此繼續下去，可得一切Bij=0（i+j=0，1…n，i，j為非負正數）證畢。

二、應用舉例

我們知道一元函數的Taylor展式在一元函數的微分學中有著重要的應用，同樣多元函數的Taylor展式在多元函數的微分學中也有著重要的應用，下面只給出其在凸的有界閉區域上，證明有連續一階偏導數的多元函數滿足Lipschitz條件[4]和有連續的二階偏導數的多元函數為凸函數的充要條件為Hessian矩陣[5]在凸的有界閉區域上為半正定的兩個重要應用。

例1.設DRn為凸的有界閉區域，f（P）在D上有連續的一階偏導數，試證明：f（P）在D上滿足Lipschitz條件，即：L>0，P1，P2∈D有：

|f（P）-f（P1）|≤L|P-P1|

證：據已知條件DRn為凸的有界閉區域可知：M>0，使得

|f′xi（P）|≤M，P∈D，i=1，2，…，n

因為D為凸區域，據Taylor公式，使得：

這里，，令L=Mn，則得

|f（P1）-f（P2）|≤L|P1-P2|

證畢。

注：由此例可知，在凸區域上的函數f的一階偏導數連續有界，則f在些區域上一致連續。

例2.設DRn為凸的有界閉區域，f（x）=f（x1，x2，…，xn）在D上有定義，且有連續的二階偏導數，試證明f（x）在D上為凸函數的充要條件為Hessian矩陣

在D上為半正定的。

證：（充分性），根據Taylor公式，（0<θ<1），使得

（1）

而

（2）

若矩陣在D為非半正定的，則（2）式非負，（1）式成為

f（y）≥f（x）+（y-x）f（x）

從而f（x）在D上為凸函數。

（必要性）用反證法

假設為非半正定的，則，及h=（h1，h2，…，hn），使得

（3）

另一方面，由Taylor公式，當λ→0時，

（4）

由于（3）當λ充分小時，（4）式右端第三項為負，于是f（x+λh）≤f（x）+λhf（x）與f凸性矛盾。證畢。

參考文獻

[1]同濟大學數學系 微積分[M].高等教育出版社，2010.

[2]陳效群 微積分學習輔導[M].科學出版社，2004.

[3]孫清華 數學分析內容，方法與技巧[M].華中科技大學出版社，2003.

[4]馮翠蓮 微積分學習輔導與學習方法[M].高等教育出版社，2003.

[5]紀樂剛 數學分析[M].華東師范大學出版社，1993.endprint