從一道課后題看向量的作用

摘 要：向量是現代數學的重要內容，是代數與幾何完美結合，把向量滲透到學生的知識體系中，對學生數學思維品質的提升有著明顯的作用。然而，向量對于許多學生來講是比較難于把握的，對向量在刻畫復雜幾何關系的作用認識不足。本文從一道課后題以及例題，向學生展示向量在解決較為復雜幾何關系時的巨大作用。

關鍵詞：平面向量；工具性；作用；幾何關系

向量是現代數學中重要的概念，有著深刻的幾何背景，向量的引入可以把幾何的問題轉化為代數計算，把圖形的基本性質轉化為向量的運算體系。向量是代數、幾何與三角函數的溝通橋梁，是數學思想中數形結合的完美體現，筆者在教授人教A版數學必修二的過程中，發現一道課后習題可以較好地體現向量的重要性，同時也可以讓學生更好地體會引入向量對計算的便捷性。

一、 呈現真題

學生在學習圓的標準方程后，容易找出AB的中點即為圓心，A，B的距離即為圓的直徑。通過圓的標準方程可以得出*式，但要得到最終結果需要較為復雜的化簡運算，這就要求學生要具備很強的代數運算能力，顯然多數學生還不具備這樣的能力。

有部分學生結合直徑所對圓周角為直角以及兩直線垂直斜率互為負倒數的知識來解答這個問題，已經簡化了運算。

該解法計算簡潔，很好地體現了向量計算的便捷性。通過這三種解法的比較，學生能夠深切體會向量的威力。

二、 再次體會

幾何形式與代數形式的統一是向量作為一種工具性的本質原因，一些看似難以找到突破口的幾何證明，引入向量后，就可以轉化為向量運算的相關問題，很好體現數形結合的思想。

幾何對象的位置關系以及幾何度量問題可以通過向量的運算來刻畫，它可以使圖形量化，使圖形間關系代數化，進一步降低了教學難度，學生接受起來也比較容易，同時也給學生滲透了一種處理問題的方法—算法化思想。向量成為幾何學的基本研究對象，它的存在幫助我們從復雜的圖形分析中抽離出來，把焦點放在圖形間存在的向量關系上，從而得出精確的最終結論。向量的學習，有助于學生掌握幾何問題代數化的方法，領悟數形結合的思想。在解決數學問題時向量顯現出強大的工具性，向量方法既是數學思想方法的體現，又為問題的解決提供了廣闊的思路。向量與其他知識的交匯，提供了很多解決抽象數學問題的簡便方法。

參考文獻：

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[3]楊國榮.向量的教學價值[J].科技世界，2012（13）.

作者簡介：

黃昭星，廣西壯族自治區百色市，祈福高級中學。